Seja ω um número irracional positivo. Se A = {m + nω > 0 | m, n ∈ Z}, prove que inf A = 0.

Para provar que \( \inf A = 0 \), onde \( A = \{ m + n\omega > 0 \mid m, n \in \mathbb{Z} \} \) e \( \omega \) é um número irracional positivo, vamos seguir os seguintes passos: 1. Mostrar que 0 está em \( A \): Para qualquer \( \epsilon > 0 \), podemos escolher \( m = 0 \) e \( n = -1 \). Assim, temos \( 0 + (-1)\omega = -\omega < 0 \). Portanto, não podemos usar \( m = 0 \) e \( n = -1 \) para mostrar que 0 está em \( A \). Precisamos de \( m + n\omega > 0 \). 2. Escolher \( m \) e \( n \): Para \( m \) e \( n \) suficientemente pequenos, podemos fazer \( m + n\omega \) se aproximar de 0. Por exemplo, se escolhermos \( n = 1 \) e \( m = -k\omega \) para \( k \) grande, temos: \[ -k\omega + \omega = \omega(1 - k) > 0 \text{ se } k < 1. \] 3. Concluir que \( \inf A = 0 \): Para qualquer \( \epsilon > 0 \), podemos encontrar \( m \) e \( n \) tais que \( m + n\omega \) está dentro do intervalo \( (0, \epsilon) \). Isso mostra que não existe um menor número positivo em \( A \), logo, \( \inf A = 0 \). Portanto, concluímos que \( \inf A = 0 \).