Para mostrar que \(\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} \in (\alpha, \beta)\), dado que \(\frac{a_k}{b_k} \in (\alpha, \beta)\) para \(k = 1, 2, \ldots, n\), podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz. 1. Condições: Temos que \(\alpha < \frac{a_k}{b_k} < \beta\) para cada \(k\). 2. Multiplicando por \(b_k\): Isso implica que \(\alpha b_k < a_k < \beta b_k\). 3. Somando: Ao somar para \(k = 1\) até \(n\): \[ \sum_{k=1}^{n} \alpha b_k < \sum_{k=1}^{n} a_k < \sum_{k=1}^{n} \beta b_k. \] 4. Reescrevendo: Isso se torna: \[ \alpha \sum_{k=1}^{n} b_k < \sum_{k=1}^{n} a_k < \beta \sum_{k=1}^{n} b_k. \] 5. Dividindo por \(\sum_{k=1}^{n} b_k\) (que é positivo): \[ \frac{\alpha \sum_{k=1}^{n} b_k}{\sum_{k=1}^{n} b_k} < \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k}{\sum_{k=1}^{n} b_k} < \frac{\beta \sum_{k=1}^{n} b_k}{\sum_{k=1}^{n} b_k}. \] 6. Conclusão: Portanto, temos: \[ \alpha < \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} < \beta, \] o que mostra que \(\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} \in (\alpha, \beta)\).