Seja X = {1− (−1)n/n | n ∈ N}. Mostrar que X é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de X.

Para mostrar que o conjunto \( X = \{ 1 - \frac{(-1)^n}{n} \mid n \in \mathbb{N} \} \) é limitado, vamos analisar os elementos de \( X \). 1. Análise dos elementos de \( X \): - Para \( n \) ímpar, temos \( 1 - \frac{(-1)^n}{n} = 1 + \frac{1}{n} \). - Para \( n \) par, temos \( 1 - \frac{(-1)^n}{n} = 1 - \frac{1}{n} \). 2. Limites dos elementos: - Quando \( n \) é ímpar, \( 1 + \frac{1}{n} \) se aproxima de 1 conforme \( n \) aumenta. - Quando \( n \) é par, \( 1 - \frac{1}{n} \) também se aproxima de 1 conforme \( n \) aumenta. 3. Limites superior e inferior: - Para \( n \) ímpar, o valor máximo ocorre quando \( n = 1 \), que é \( 2 \). - Para \( n \) par, o valor mínimo ocorre quando \( n = 2 \), que é \( \frac{1}{2} \). Portanto, \( X \) é limitado, pois todos os elementos estão entre \( \frac{1}{2} \) e \( 2 \). 4. Cálculo do supremo e ínfimo: - O ínfimo de \( X \) é \( \frac{1}{2} \) (o menor valor que \( X \) pode atingir). - O supremo de \( X \) é \( 2 \) (o maior valor que \( X \) pode atingir). Resumindo: - \( X \) é limitado. - \( \inf(X) = \frac{1}{2} \) - \( \sup(X) = 2 \)