Grátis: Se a1, a2, . . . , an pertencem ao intervalo (a, b) e t1, t2, . . . , tn ∈ R+ satisfazem t1 + t2 + · · ·+ tn = 1, provar que a1t1 + a2t2 + · · ·+ a...

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Se a1, a2, . . . , an pertencem ao intervalo (a, b) e t1, t2, . . . , tn ∈ R+ satisfazem t1 + t2 + · · ·+ tn = 1, provar que a1t1 + a2t2 + · · ·+ antn pertence ao intervalo (a, b).

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Para provar que \( a_1t_1 + a_2t_2 + \ldots + a_nt_n \) pertence ao intervalo \( (a, b) \), vamos analisar os dados: 1. Condições: Temos \( a_1, a_2, \ldots, a_n \in (a, b) \), o que significa que \( a < a_i < b \) para todo \( i \). 2. Pesos: Os \( t_i \) são não negativos e somam 1, ou seja, \( t_1 + t_2 + \ldots + t_n = 1 \). Agora, vamos considerar o valor mínimo e máximo da soma ponderada: - Valor mínimo: \[ a_1t_1 + a_2t_2 + \ldots + a_nt_n > a(t_1 + t_2 + \ldots + t_n) = a \cdot 1 = a \] - Valor máximo: \[ a_1t_1 + a_2t_2 + \ldots + a_nt_n < b(t_1 + t_2 + \ldots + t_n) = b \cdot 1 = b \] Assim, temos que: \[ a < a_1t_1 + a_2t_2 + \ldots + a_nt_n < b \] Portanto, \( a_1t_1 + a_2t_2 + \ldots + a_nt_n \) pertence ao intervalo \( (a, b) \). Essa é a prova que você precisava! Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

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Sejam a1, a2, . . . , an números reais e b1, b2, . . . , bn reais positivos. Se ak/bk ∈ (α, β) para k = 1, 2, . . . , n, mostre que: a1 + a2 + · · ·+ an / b1 + b2 + · · ·+ bn ∈ (α, β).

Considere os números de Fibonacci {Fn} definidos por F1 = 1, F2 = 1, e Fn+2 = Fn+1 + Fn. Mostre que: Fn = ((1 + √5)^n - (1 - √5)^n) / (2^n√5), n = 1, 2, 3, . . .

Seja f : R → R definida por f(x) = 1/√(1 + x^2) e A = {f(x) | x ∈ R}. Mostrar que A é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de A.

Seja a1 = a2 = 5 e an+1 = an + 6an−1, ∀n ≥ 2. Calcule os seis primeiros termos da sequência an e, em seguida, conjecture uma fórmula para an em função de n.

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Se x ≥ 0, provar que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ n(n−1)/2 x2 para todo n ∈ N.

Para quaisquer x, y, z ∈ R, mostre que: a) ||x| − |y|| ≤ |x− y| b) |x− y|+ |y − z| ≥ |x− z|

Sejam a1, a2, . . . , an números reais e b1, b2, . . . , bn reais positivos. Se ak/bk ∈ (α, β) para k = 1, 2, . . . , n, mostre que: a1 + a2 + · · ·+ an / b1 + b2 + · · ·+ bn ∈ (α, β).

Considere os números de Fibonacci {Fn} definidos por F1 = 1, F2 = 1, e Fn+2 = Fn+1 + Fn. Mostre que: Fn = ((1 + √5)^n - (1 - √5)^n) / (2^n√5), n = 1, 2, 3, . . .

Sejam x, y, a, b números reais positivos. Se x/y < a/b, mostre que: x/y < (x + a) / (y + b) < a/b.

Mostrar que: |x + y| / (1 + |x + y|) ≤ |x| / (1 + |x|) + |y| / (1 + |y|) para todos x, y ∈ R.

Sejam A, B subconjuntos não vazios de R tais que A ⊂ B. Provar que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

Seja ω um número irracional positivo. Se A = {m + nω > 0 | m, n ∈ Z}, prove que inf A = 0.

Seja f : R → R definida por f(x) = 1/√(1 + x^2) e A = {f(x) | x ∈ R}. Mostrar que A é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de A.

Seja X = {1− (−1)n/n | n ∈ N}. Mostrar que X é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de X.

Prove que: |√(a² + b²) − √(a² + c²)| ≤ |b− c| para todos a, b, c ∈ R.

Determine todos os números reais tais que: 4 < |x+ 2|+ |x− 1| < 5.

Seja a1 = a2 = 5 e an+1 = an + 6an−1, ∀n ≥ 2. Calcule os seis primeiros termos da sequência an e, em seguida, conjecture uma fórmula para an em função de n.

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