Considere os números de Fibonacci {Fn} definidos por F1 = 1, F2 = 1, e Fn+2 = Fn+1 + Fn. Mostre que: Fn = ((1 + √5)^n - (1 - √5)^n) / (2^n√5), n = 1, 2, 3, . . .

Question

Considere os números de Fibonacci {Fn} definidos por F1 = 1, F2 = 1, e Fn+2 = Fn+1 + Fn. Mostre que: Fn = ((1 + √5)^n - (1 - √5)^n) / (2^n√5), n = ...

Ed · Answer

Para mostrar que $ F_n = \frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}} $, podemos usar o método de indução matemática.

**Base da indução:**
Para $ n = 1 $:
$$
F_1 = 1
$$
Calculando a fórmula:
$$
F_1 = \frac{(1 + \sqrt{5})^1 - (1 - \sqrt{5})^1}{2^1 \sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5}) - (1 - \sqrt{5})}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = 1
$$
Portanto, a base está correta.

**Passo da indução:**
Suponha que a fórmula é verdadeira para $ n = k $ e $ n = k - 1 $:
$$
F_k = \frac{(1 + \sqrt{5})^k - (1 - \sqrt{5})^k}{2^k \sqrt{5}}
$$
$$
F_{k-1} = \frac{(1 + \sqrt{5})^{k-1} - (1 - \sqrt{5})^{k-1}}{2^{k-1} \sqrt{5}}
$$

Precisamos mostrar que:
$$
F_{k+1} = F_k + F_{k-1}
$$

Calculando $ F_{k+1} $:
$$
F_{k+1} = F_k + F_{k-1} = \frac{(1 + \sqrt{5})^k - (1 - \sqrt{5})^k}{2^k \sqrt{5}} + \frac{(1 + \sqrt{5})^{k-1} - (1 - \sqrt{5})^{k-1}}{2^{k-1} \sqrt{5}}
$$

Colocando tudo sob um denominador comum:
$$
F_{k+1} = \frac{(1 + \sqrt{5})^k - (1 - \sqrt{5})^k}{2^k \sqrt{5}} + \frac{2(1 + \sqrt{5})^{k-1} - 2(1 - \sqrt{5})^{k-1}}{2^k \sqrt{5}}
$$

Simplificando:
$$
F_{k+1} = \frac{(1 + \sqrt{5})^k + 2(1 + \sqrt{5})^{k-1} - (1 - \sqrt{5})^k - 2(1 - \sqrt{5})^{k-1}}{2^k \sqrt{5}}
$$

Usando a relação de recorrência da sequência de Fibonacci, podemos mostrar que:
$$
(1 + \sqrt{5})^{k+1} = (1 + \sqrt{5})^k + (1 + \sqrt{5})^{k-1}
$$
E similar para $ (1 - \sqrt{5}) $.

Assim, concluímos que:
$$
F_{k+1} = \frac{(1 + \sqrt{5})^{k+1} - (1 - \sqrt{5})^{k+1}}{2^{k+1} \sqrt{5}}
$$

Portanto, a fórmula é verdadeira para $ n = k + 1 $.

**Conclusão:**
Por indução, a fórmula é verdadeira para todo $ n \geq 1 $.

Cálculo

resolução lista de anlise

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

resolução lista de anlise

Se x ≥ 0, provar que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ n(n−1)/2 x2 para todo n ∈ N.

Para quaisquer x, y, z ∈ R, mostre que: a) ||x| − |y|| ≤ |x− y| b) |x− y|+ |y − z| ≥ |x− z|

Se a1, a2, . . . , an pertencem ao intervalo (a, b) e t1, t2, . . . , tn ∈ R+ satisfazem t1 + t2 + · · ·+ tn = 1, provar que a1t1 + a2t2 + · · ·+ antn pertence ao intervalo (a, b).

Sejam a1, a2, . . . , an números reais e b1, b2, . . . , bn reais positivos. Se ak/bk ∈ (α, β) para k = 1, 2, . . . , n, mostre que: a1 + a2 + · · ·+ an / b1 + b2 + · · ·+ bn ∈ (α, β).

Sejam x, y, a, b números reais positivos. Se x/y < a/b, mostre que: x/y < (x + a) / (y + b) < a/b.

Mostrar que: |x + y| / (1 + |x + y|) ≤ |x| / (1 + |x|) + |y| / (1 + |y|) para todos x, y ∈ R.

Sejam A, B subconjuntos não vazios de R tais que A ⊂ B. Provar que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

Seja ω um número irracional positivo. Se A = {m + nω > 0 | m, n ∈ Z}, prove que inf A = 0.

Seja f : R → R definida por f(x) = 1/√(1 + x^2) e A = {f(x) | x ∈ R}. Mostrar que A é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de A.

Seja X = {1− (−1)n/n | n ∈ N}. Mostrar que X é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de X.

Prove que: |√(a² + b²) − √(a² + c²)| ≤ |b− c| para todos a, b, c ∈ R.

Determine todos os números reais tais que: 4 < |x+ 2|+ |x− 1| < 5.

Seja a1 = a2 = 5 e an+1 = an + 6an−1, ∀n ≥ 2. Calcule os seis primeiros termos da sequência an e, em seguida, conjecture uma fórmula para an em função de n.

Mais conteúdos dessa disciplina