provas da faculdade da2DY

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c) \(\ln|x| + C\) 
 d) \(x + C\) 
 **Resposta:** c) \(\ln|x| + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x| + C\). 
 
25. **Problema 25:** Calcule o determinante da matriz \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 
& 3 & 5 \\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A matriz é linearmente dependente, então o determinante é 0. 
 
26. **Problema 26:** Qual é a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\)? 
 a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 b) \(\sec^2(x^2)\) 
 c) \(2x \tan(x^2)\) 
 d) \(\tan(x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia para derivar \(\tan(u)\). 
 
27. **Problema 27:** Calcule a integral \(\int (x^3 + 2x^2 - x) \, dx\). 
 a) \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C\) 
 b) \(\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C\) 
 c) \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + C\) 
 d) \(x^4 + x^3 - x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a regra de potência. 
 
28. **Problema 28:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 5}\). 
 a) 3 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\frac{3 + \frac{2}{x}}{1 
+ \frac{5}{x^2}} \to 3\). 
 
29. **Problema 29:** Determine a equação da reta tangente à curva \(y = x^3\) no ponto \( 
(1, 1) \). 
 a) \(y = 3x - 2\) 
 b) \(y = 3x - 3\) 
 c) \(y = x + 1\) 
 d) \(y = x - 1\) 
 **Resposta:** a) \(y = 3x - 2\) 
 **Explicação:** A derivada \(f'(x) = 3x^2\) em \(x = 1\) é 3. A equação da reta é \(y - 1 = 3(x 
- 1)\). 
 
30. **Problema 30:** Calcule a integral \(\int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx\). 
 a) 1 
 b) \(\frac{5}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{2}{3} 
+ \frac{3}{2} = \frac{5}{6}\). 
 
31. **Problema 31:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) 1 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \(\sin(x)\), temos \(x - \sin(x) \sim 
\frac{x^3}{6}\). 
 
32. **Problema 32:** Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)? 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \((\ln(u))' = \frac{1}{u} \cdot u'\). 
 
33. **Problema 33:** Calcule a integral \(\int (3x^2 - 5x + 4) \, dx\). 
 a) \(x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x + C\) 
 b) \(x^3 - 5x^2 + 4x + C\) 
 c) \(3x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x + C\) 
 d) \(\frac{3}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a regra de potência. 
 
34. **Problema 34:** Determine o valor de \(\frac{d^2}{dx^2} (x^4 - 4x^2 + 4)\). 
 a) \(12x^2 - 8\) 
 b) \(12x - 8\) 
 c) \(12x^2\) 
 d) \(8\) 
 **Resposta:** a) \(12x^2 - 8\) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(4x^3 - 8x\) e a segunda derivada é \(12x^2 - 8\). 
 
35. **Problema 35:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}\). 
 a) 2 
 b) 3