AULA_03_C_LCULO____Integral_Dupla (1)

Prévia do material em texto

CÁLCULO – Integral Dupla
2025
Integral – Integral Dupla
Vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo 
fechado 𝑅 = 𝑎, 𝑏 × 𝑐, 𝑑 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ²ȁ𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 e vamos 
inicialmente supor que 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0. O gráfico de f é a superfície com equação 
z = 𝑓(𝑥, 𝑦). Seja S o sólido que está acima da região R e abaixo do gráfico de f, 
isto é, (veja a figura a seguir.)
𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3ȁ0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 
Nosso objetivo é determinar o volume de S. 
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. 
Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1, xi] de 
mesmo comprimento ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑚
 e dividindo o intervalo [c,d] em n 
subintervalos [yi-1, yi] de mesmo comprimento ∆𝑦 =
𝑑−𝑐
𝑛
 . 
Integral – Integral Dupla
Integral – Integral Dupla
Traçando retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelas extremidades 
dos subintervalos, como na figura a seguir, formamos os sub-retângulos.
Integral – Integral Dupla
Se escolhermos um ponto arbitrário, que chamaremos ponto de amostragem, 
(𝑥𝑖𝑗
∗
, 𝑦𝑖𝑗
∗
) em cada Rij, poderemos aproximar a parte de S que está acima 
de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou “coluna”) com base Rij e 
altura f (𝑥𝑖𝑗
∗
, 𝑦𝑖𝑗
∗
), como mostrado na figura abaixo. 
Integral – Integral Dupla
O volume dessa caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da 
base: 𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ ∆𝐴 ou 𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ ∆x. ∆𝑦
Integral – Integral Dupla
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes 
das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: 
𝑉 = ෍
𝑖=1
𝑚
෍
𝑗=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ ∆𝐴 
Veja a figura ao lado:
Integral – Integral Dupla
Essa soma dupla significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f 
no ponto escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e então 
adicionamos os resultados. A aproximação apresentada em
𝑉 = σ𝑖=1
𝑚 σ𝑗=1
𝑛 𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ ∆𝐴 melhora quando aumentamos os valores de m e 
n e, portanto, devemos esperar que 
𝑉 = lim
𝑚,𝑛→→∞
෍
𝑖=1
𝑚
෍
𝑗=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ ∆𝐴 
Integral – Integral Dupla
𝑉 = lim
𝑚,𝑛→→∞
෍
𝑖=1
𝑚
෍
𝑗=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ ∆𝐴 
Esta expressão é utilizada para definirmos o volume do sólido S que corresponde à 
região que está abaixo do gráfico de f e acima do retângulo R.
A integral dupla de f sobre o retângulo R é 
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = lim
𝑚,𝑛→→∞
෍
𝑖=1
𝑚
෍
𝑗=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗ , 𝑦𝑖𝑗
∗ ∆𝐴 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟.
Exemplo 1: Estime o volume do sólido que está acima do quadrado 𝑅 =
0,2 × 0,2 e abaixo do paraboloide elíptico 𝑧 = 16 − 𝑥2 − 2𝑦2. Divida R 
em quatro quadrados iguais e escolha o ponto de amostragem como o canto 
superior direito de cada quadrado 𝑅𝑖𝑗. Faça um esboço do sólido e das 
caixas retangulares aproximadoras. 
Integral – Integral Dupla
Solução 1: Os quadrados estão ilustrados na figura abaixo. O paraboloide 
elíptico é o gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥2 − 2𝑦2 e a área de cada quadrado é 
 ∆𝐴 = 1. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, 
temos:
𝑉 = ෍
𝑖=1
2
෍
𝑗=1
2
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ∆𝐴 
Integral – Integral Dupla
𝑉 = ෍
𝑖=1
2
෍
𝑗=1
2
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ∆𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥2 − 2𝑦2
𝑉 = 𝑓 1,1 ∆𝐴 + 𝑓 1,2 ∆𝐴 + 𝑓 2,1 ∆𝐴 + 𝑓 2,2 ∆𝐴
= 13.1 + 7.1 + 10.1 + 4.1 = 34 . Esse é o volume 
das caixas aproximadoras mostradas na figura ao lado.
Integral – Integral Dupla
Obtemos melhores aproximações do volume quando aumentamos o número de 
quadrados. A Figura abaixo mostra como as colunas começam a parecer mais 
com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando 
mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados. Veremos que o resultado 
do volume exato é 48.
Integral – Integral Dupla
ඵ
ℝ
𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ඵ
ℝ
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 + ඵ
ℝ
𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
ඵ
ℝ
𝑐. 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑐 ඵ
ℝ
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝑆𝑒 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑔 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 𝑒𝑚 ℝ, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ඵ
ℝ
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≥ ඵ
ℝ
𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
Propriedades das Integrais Duplas
න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Significa que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em 
relação a x, de a a b. 
න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
Significa que primeiro integramos com relação a x de a a b e depois y de c a d. 
Integrais Iteradas
Exemplo 1: Calcule o valor das integrais duplas abaixo: 
a) 0׬
3
1׬
2
𝑥2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
b) 1׬
2
0׬
3
𝑥2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
Integrais Iteradas
Solução:
a) 0׬
3
1׬
2
𝑥2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0׬
3 𝑥2𝑦2
2
 ฬ2
1
 𝑑𝑥 = 0׬
3
𝑥2 2 − 0,5 𝑑𝑥 = 0׬
3
1,5𝑥2𝑑𝑥
1,5𝑥3
3
ቤ
3
0
 = 13,5
Integrais Iteradas
Solução:
b) 1׬
2
0׬
3
𝑥2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1׬
2 𝑥3𝑦
3
 ቤ3
0
 𝑑𝑥 = 1׬
2
9𝑦 𝑑𝑦 =
9𝑦2
2
 ห2
1
 = 13,5
Observe que obtemos a mesma resposta se integramos primeiro em 
relação a y ou a x. Em geral acontece de as duas integrais iteradas das 
mesmas equações serem sempre iguais, ou seja, a ordem da integração não 
é importante.
Integrais Iteradas
Exemplo 2: Determine o volume do sólido S que é limitado pelo 
paraboloide elíptico 𝑥2 + 2𝑦2 + z = 16, pelos planos x = 2 e y = 2 e pelos 
três planos coordenados.
Integrais Iteradas
Solução 2: O sólido está abaixo da superfície z = 16 −𝑥2 −2𝑦2 e acima 
do quadrado [0,2] x [0,2].
Integrais Iteradas
න
0
2
න
0
2
16 −𝑥2 −2𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
න
0
2
16𝑥 −
𝑥3
3
− 2𝑥𝑦2 อ
2
0
 𝑑𝑦 = න
0
2
29,3333 − 4𝑦2𝑑𝑦 = 29,3333𝑦 −
4𝑦3
3
቞
2
0
= 48
Exemplo 3: Calcule a integral dupla ׭𝑅
𝑥 − 3𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , onde 
𝑅 = (𝑥, 𝑦)ȁ0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 .
Integrais Iteradas
Solução 3: ׭𝑅
𝑥 − 3𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , onde 𝑅 = (𝑥, 𝑦)ȁ0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
Integrais Iteradas
න
1
2
න
0
2
𝑥 − 3𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦
න
1
2 𝑥2
2
− 3𝑥𝑦2 อ
2
0
 𝑑𝑦 = න
1
2
2 − 6𝑦2𝑑𝑦 = 2𝑦 −
6𝑦3
3
቞
2
1
= −12
Exemplo 4: Calcule a integral dupla ׭𝑅
2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 , onde 
𝑅 = (𝑥, 𝑦)ȁ1 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 .
Integrais Iteradas
Solução 4: ׭𝑅
2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 , onde 𝑅 = (𝑥, 𝑦)ȁ1 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
Integrais Iteradas
න
0
2
න
1
4
2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න
0
2 2𝑥2
2
+ 3𝑥𝑦 ቤ
4
1
 𝑑𝑦
න
0
2
16 + 12𝑦 − 1 − 3𝑦𝑑𝑦 = න
0
2
15 + 9𝑦𝑑𝑦 = 15𝑦 +
9𝑦2
2
቞
2
0
= 48
Exemplo 5: Calcule a integral dupla ׭𝑅
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 , onde 
𝑅 = (𝑥, 𝑦)ȁ1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 .
Integrais Iteradas
Solução 5: ׭𝑅
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 , onde𝑅 = (𝑥, 𝑦)ȁ1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥
Integrais Iteradas
න
1
2
න
𝑥
2𝑥
𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 = න
1
2
𝑒𝑦 ቤ
2𝑥
𝑥
𝑒𝑥𝑑𝑥
න
1
2
𝑒𝑥(𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥)𝑑𝑥 = න
1
2
𝑒3𝑥 − 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒3𝑥
3
−
𝑒2𝑥
2
቞
2
1
=
𝑒6
3
−
𝑒4
2
−
𝑒3
3
−
𝑒2
2
= 104,1765
Exemplo 6: Calcule a integral dupla ׭𝑅
𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 , sobre a região 
delimitada por 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = 𝑥.
Integrais Iteradas
Solução ׭𝑅
𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Primeiro, encontramos os pontos de interseção 
das curvas para determinar os limites de x 
Integrais Iteradas
𝑥2 = 𝑥 𝑥4 − 𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 1
A integral dupla será:
න
0
1
න
𝑥2
𝑥
𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = න
0
1 𝑥𝑦2
2
ቤ
𝑥
𝑥2
 𝑑𝑥 = න
0
1 𝑥2
2
−
𝑥5
2
𝑑𝑥 =
𝑥3
6
−
𝑥6
12
ቤ
1
0
 = 0,0833
No caso especial em que pode ser fatorado como o produto de uma função 
só de x por uma função só de y, a integral dupla de f pode ser escrita de 
forma particularmente simples. Para sermos específicos, suponha que 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 e R= [a,b] x [c,d].
න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 න
𝑐
𝑑
ℎ 𝑦 𝑑𝑦 𝑜𝑛𝑑𝑒 R= [a,b] x [c,d].
Integrais Iteradas
Exemplo: Calcule a integral dupla 0׬
90º
0׬
90º
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 .
න
0
90º
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 න
0
90º
𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑦 = −cosx อ
90º
0
∙ sen𝑦 ቤ
90º
0
= 1 ∙ 1 = 1
Integrais Iteradas
Exemplo: Calcule a integral dupla 0׬5
0׬
2
𝑥2𝑦3 𝑑𝑥𝑑𝑦 .
න
0
2
𝑥2 𝑑𝑥 න
0
5
𝑦3 𝑑𝑦 =
x3
3
ቤ
2
0
 ∙
𝑦4
4
ቤ
5
0
= 2,6667 ∙ 156,25 = 416,6667
Integrais Iteradas
	Slide 1: CÁLCULO – Integral Dupla
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31