Noções de Matemática 3 Trigonometria

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Aref Antar Neto 
José Luiz Pereira Sampaio 
Nilton Lapa 
Sidney Luiz Cavallantte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
Noções de Matemática 
 
 
 
VOLUME 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capa: 
Annysteyne Maia Chaves 
 
 
 
CIP – Brasil. Catalogação-na-Fonte. 
Câmara Brasileira do Livro, SP 
 
 
 
 
T747 
 
Trigonometria: 2º grau / Aref Antar Neto. 
(et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009. 
 (Noções de matemática; v.3) 
 
 
 
 1. Trigonometria (2º grau) I. Antar Neto, Aref, 
1949 – II. Série. 
 
 
 
 
 
78-1488 
17. CDD – 514 
18. – 516.24 
 
Índices para catálogo sistemático: 
1. Trigonometria 514.7 (17.) 516.24 (18.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.VestSeller.com.br 
 
 
Índice 
 
Parte I 
Capítulo 1. Medidas de arcos e ângulos ..............................................................13 
 
1.1 ― Arcos de circunferência .............................................................13 
1.2 ― Medida de um arco ....................................................................14 
1.3 ― Ângulos......................................................................................15 
1.4 ― Medida de um ângulo ................................................................15 
1.5 ― Unidades usuais de medida ......................................................16 
1.6 ― O número : uma razão geométrica ..........................................17 
1.7 ― Arco de uma volta......................................................................18 
1.8 ― Comprimento de um arco ..........................................................18 
1.9 ― Conversão de unidades.............................................................19 
 
Capítulo 2. Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno 
 e tangente ...........................................................................................23 
 
2.1 ― Relações métricas no triângulo retângulo..................................23 
2.2 ― Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno 
 e tangente..................................................................................24 
2.3 ― Aplicação importante: ângulos notáveis ....................................26 
2.4 ― Primeiras relações fundamentais...............................................29 
 Exercícios Suplementares .........................................................34 
 
 
 
Parte II 
Capítulo 3. Circunferência trigonométrica...........................................................39 
 
3.1 ― Segmento orientado ..................................................................39 
3.2 ― Eixo............................................................................................39 
3.3 ― Medida algébrica de um segmento orientado............................40 
3.4 ― Relação de Chasles...................................................................40 
3.5 ― Sistema de abscissas ................................................................41 
3.6 ― Sistema cartesiano ortogonal ....................................................42 
3.7 ― Arco orientado ...........................................................................44 
3.8 ― Circunferência trigonométrica ....................................................44 
3.9 ― Medida algébrica de um arco orientado.....................................45 
3.10 ― Ângulos......................................................................................46 
3.11 ― Arcos ou ângulos com mais de um volta ...................................46 
3.12 ― Algumas expressões importantes..............................................49 
3.13 ― Arcos côngruos..........................................................................49 
3.14 ― Expressões do tipo 2k
n
  ......................................................52 
 
 
Capítulo 4. Seno e cosseno.................................................................................. 60 
 
4.1 ― Seno e cosseno ........................................................................ 60 
4.2 ― Variação e sinais do seno e do cosseno................................... 62 
4.3 ― Relação sen2 + cos2 = 1 ....................................................... 63 
4.4 ― Alguns valores particulares ....................................................... 64 
4.5 ― Senos dos arcos de medidas 
n
 .............................................. 66 
 
Capítulo 5. Tangente e cotangente ...................................................................... 71 
 
5.1 ― Tangente................................................................................... 71 
5.2 ― Variação e sinais da tangente................................................... 73 
5.3 ― Cotangente ............................................................................... 77 
5.4 ― Variação e sinais da cotangente ............................................... 79 
 
Capítulo 6. Secante e cossecante ....................................................................... 86 
 
6.1 ― Secante e cossecante............................................................... 86 
6.2 ― Variação e sinais da secante e da cossecante ......................... 87 
6.3 ― Resumos................................................................................... 88 
 
Capítulo 7. Redução ao 1º quadrante .................................................................. 94 
 
Capítulo 8. Equações simples .............................................................................. 98 
 
8.1 ― Introdução................................................................................. 98 
8.2 ― Conjunto-universal e conjunto-solução ..................................... 98 
8.3 ― Equação do tipo cos x = a......................................................... 98 
8.4 ― Notação arc cos a ................................................................... 100 
8.5 ― Conjunto-universo U = ......................................................... 102 
8.6 ― Equação do tipo sen x = a ...................................................... 104 
8.7 ― Notação arc sen a................................................................... 106 
8.8 ― Equação do tipo tg x = a ......................................................... 109 
8.9 ― Notação arc tg a...................................................................... 110 
8.10 ― Notação arc cotg a. Equação do tipo cotg x = a ..................... 113 
8.11 ― Resumo das notações novas.................................................. 116 
 Exercícios Suplementares ...................................................... 119 
 
 
 
Parte III 
Capítulo 9. Primeiras fórmulas trigonométricas............................................... 125 
 
9.1 ― Introdução............................................................................... 125 
9.2 ― Mudança de sinal do arco (ou ângulo).................................... 125 
9.3 ― Cosseno da soma e cosseno da diferença ............................. 126 
9.4 ― Arcos (ou ângulos) complementares ...................................... 128 
9.5 ― Seno da soma e seno da diferença ........................................ 132 
9.6 ― Tangente da soma e tangente da diferença ............................134 
9.7 ― Resumo ...................................................................................136 
9.8 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da 
 forma k  x .............................................................................139 
9.9 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da 
 forma k x,
2
  k ímpar...............................................................143 
 
Capítulo 10. Fórmulasde arco dobro, arco triplo e arco metade ....................148 
 
10.1 ― Introdução ...........................................................................148 
10.2 ― Arco dobro...........................................................................148 
10.3 ― Arco triplo ............................................................................152 
10.4 ― Arco metade........................................................................153 
10.5 ― Fórmulas auxiliares: sen a, cos a e tg a em função de 
 atg
2
.....................................................................................155 
10.6 ― Resumo...............................................................................157 
 
Capítulo 11. Transformação em produto ..........................................................160 
 
11.1 ― Introdução ...........................................................................160 
11.2 ― Transformação de sen p  sen q e cos p  cos q................160 
11.3 ― Transformação de sen p  cos q.........................................163 
11.4 ― Transformação de tg p  tg q ..............................................163 
11.5 ― Fórmulas de reversão: transformação de produtos em somas 
 ou diferenças.......................................................................164 
11.6 ― Resumo...............................................................................166 
 Exercícios Suplementares...................................................168 
 
 
 
 
Parte IV 
Capítulo 12. Equações trigonométricas ............................................................173 
 
12.1 ― Finalidade deste capítulo ....................................................173 
12.2 ― Equações clássicas.............................................................182 
12.3 ― 1ª equação clássica ............................................................182 
12.4 ― 2ª equação clássica ............................................................188 
12.5 ― 3ª equação clássica ............................................................190 
12.6 ― Equações que envolvem as relações inversas ...................194 
 
Capítulo 13. Inequações trigonométricas .........................................................200 
 
13.1 ― Inequação do tipo cos x < a ................................................200 
13.2 ― Inequação do tipo cos x > a ................................................201 
13.3 ― Inequações dos tipos sen x < a e sen x > a ........................203 
13.4 ― Inequações dos tipos tg x < a e tg x > a..............................206 
 Exercícios Suplementares...................................................212 
 
 
 
Parte V 
Capítulo 14. Resolução de triângulos ............................................................... 217 
 
14.1 ― Introdução .......................................................................... 217 
14.2 ― Lei dos senos ..................................................................... 217 
14.3 ― Lei dos cossenos................................................................ 220 
14.4 ― Área do triângulo ................................................................ 223 
14.5 ― Resumo.............................................................................. 225 
 Exercícios Suplementares.................................................. 236 
 
 
 
 
Parte VI 
Capítulo 15. Funções trigonométricas ............................................................. 241 
 
15.1 ― Introdução .......................................................................... 241 
15.2 ― O conceito de função ......................................................... 241 
15.3 ― Função real de variável real ............................................... 242 
15.4 ― Gráfico de uma função real de variável real ....................... 242 
15.5 ― A correspondência entre um número real e um ponto da 
 Circunferência trigonométrica............................................. 243 
15.6 ― Função seno....................................................................... 245 
15.7 ― Definição de função periódica ............................................ 246 
15.8 ― Gráfico da função seno ...................................................... 246 
15.9 ― Definição de função limitada .............................................. 247 
15.10 ― Função cosseno ................................................................. 248 
15.11 ― Gráfico da função cosseno................................................. 248 
15.12 ― Função tangente ................................................................ 249 
15.13 ― Gráfico da função tangente ................................................ 250 
15.14 ― Função cotangente............................................................. 252 
15.15 ― Gráfico da função cotangente ............................................ 253 
15.16 ― Função secante.................................................................. 254 
15.17 ― Gráfico da função secante.................................................. 254 
15.18 ― Função cossecante ............................................................ 256 
15.19 ― Gráfico da função cossecante ............................................ 256 
15.20 ― Definição de função par e função ímpar............................. 257 
15.21 ― Paridade das funções trigonométricas ............................... 257 
15.22 ― Resumo.............................................................................. 258 
 
 
 
Capítulo 16. Cálculo de períodos e construção de gráficos ........................... 264 
 
16.1 ― Introdução .......................................................................... 264 
16.2 ― Cálculo do período de funções da forma y = m + nf(ax + b)264 
16.3 ― Cálculo do período de somas e produtos de duas funções 
 periódicas........................................................................... 266 
16.4 ― Construção de gráficos....................................................... 269 
 
 
Capítulo 17. Funções trigonométricas inversas ...............................................277 
 
17.1 ― O conceito de função inversa..............................................277 
17.2 ― Introdução às funções trigonométricas inversas .................278 
17.3 ― A inversa do seno: função arco-seno..................................279 
17.4 ― A inversa do cosseno: função arco-cosseno.......................279 
17.5 ― A inversa da tangente: função arco-tangente .....................282 
17.6 ― A inversa da cotangente: função arco-cotangente ..............283 
 
 
Exercícios Suplementares ................................................................286 
Respostas dos exercícios propostos ................................................288 
Respostas dos exercícios suplementares.........................................316 
Tabela de razões trigonométricas.....................................................327 
 
 
 
30 
logo, podemos escrever: 
sentg
cos
   
 
Podemos, como exemplo, verificar as relações acima com os valores da 
tabela para os ângulos notáveis: 
a) 
22
2 2 1 3 1 3 4sen 30º cos 30º 1
2 2 4 4 4
               
 
b) 
3
2sen 60º 3 tg 60º
cos 60º 1
2
         
 
c) 
2
2sen 45º 1 tg 45º
cos 45º 2
2
          
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
2.4) Calcule sen  e tg , sabendo que  é um ângulo agudo e que cos  = 1
3
. 
 
Solução 
1º) como sen2 + cos2 = 1, temos: 
sen2 = 1 – cos2 = 1 – 
21 1 81
3 9 9
       
Assim, 8 2 2sen .
3 3
   
2º) como sentg
cos
   , temos: 
2 2
3
tg 2 2
1
3
         
 
 
2.5) Sendo sen  – cos  = m e  um ângulo agudo, determine o produto 
sen  · cos. 
 
Solução 
Elevando ambos os membros da igualdade dada ao quadrado, temos: 
(sen  – cos )2 = m2  sen2 – 2sencos + cos2 = m2; 
 
31 
mas, sen2 + cos2 = 1; então: 
1 – 2sencos = m2  2sencos = 1 – m2 e, finalmente 
sen  · cos  = 
21 m
2
 
 
2.6) Prove que: 
1 1 1sen cos tg 1
sen cos tg
                          
 
Solução 
Vamos partir do primeiro membro da igualdade, lembrando que 
tg  = sen ;
cos

 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
cos sen1 sen 1 cos1ºm
sen cos sen cos
cos sen (cos sen ) cos sen 1 2º m
sen cos sen cos sen cos
                          
                   
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
2.7) Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 5 e a altura relativa à 
hipotenusa mede 3. Determine as medidas do outro cateto, da hipotenusa e 
dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa. 
 
2.8) No triângulo da figura são dados m = 3 e n = 1 
 
 
 
Calcule a, b, c e h 
 
2.9) Com referência à figura do exercício anterior, sendo dados m = 5 e h = 5 , 
determine as medidas dos demais segmentos indicados. 
 
2.10) Ainda com referência à figura do exercício 2.8, sendo dados b = 2 e n = 3, 
calcule as medidas dos demais segmentos indicados. 
 
 
32 
2.11) Voando a uma altitude de 1000 metros, o piloto mede, em dois instantes 
diferentes, os ângulos segundo os quais ele avista uma árvore, como indica 
a figura. 
 
 
Qual é a distância percorrida pelo avião entre os dois instantes 
considerados? Utilizar os valores tg 30º = 0,58 e tg 45º = 1,00. 
 
2.12) Sendo 4 cm o raio da circunferência da figura, calcule o comprimento da 
corda AB. Dados: sen 20º = 0,34 e cos 20º = 0,94. 
 
 
 
2.13) Calcule a medida c do lado AB do triângulo retângulo dado na figura 
abaixo. Dados: sen 25º = 0,42; cos 25º = 0,91; tg 25º = 0,47. 
 
 
 
2.14) Calcule a altura do edifício representado na figura. São dados: tg 87º = 19,1; 
tg 58º = 1,6 
 
 
 
33 
2.15) Sendo  a medida de um ângulo agudo tal que 2sen
7
  , calcule cos  e 
tg . 
 
2.16) Sendo  a medida de um ângulo agudo tal que tg  = 3, calcule sen  e cos . 
 
2.17) Prove que 
 
2 1 sen1tg
cos 1 sen
          
 
2.18) Simplifique a expressão 
 sen6x + cos6x – sen4x – cos4x + sen2x 
 
66 
4.5) Prove que sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2 – sen2
 
Solução
Vamos desenvolver o 1º membro lembrando que cos2 = 1 – sen2 e 
cos2 = 1 – sen2. 
sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2·(1 – sen2) – (1 – sen2)·sen2= 
= sen2 – sen2·sen2 – sen2 + sen2·sen2 = sen2 – sen2. 
 
4.6) Dê todos os valores de x no intervalo –2  x  2 tais que 3cos x
2
  . 
 
Solução 
A figura ao lado auxilia a visualização 
do problema. Os arcos cujos cossenos 
valem 3
2
 tem extremidades no 
ponto P (2º quadrante) ou no ponto Q 
(3º quadrante) e correspondem aos 
valores em graus indicados. Essas 
medidas, expressas em radianos, são a 
resposta procurada. 
Temos 
então 7 5 5 7x ou x ou x ou x
6 6 6 6
         . 
 
4.7) Dê a expressão geral de todos os 
valores de x tais que 2sen x
2
  . 
 
Solução 
O valor 2sen x
2
  corresponde aos 
pontos P e Q indicados na figura ao 
lado. Os arcos de extremidade P tem 
expressão geral 5x 2k (k )
4
    e 
aqueles de extremidade Q tem 
expressão geral 7x 2k (k )
4
    
 
 
4.5. SENOS DOS ARCOS DE MEDIDAS 
Vamos examinar um processo para o cálculo dos senos de arcos cujas 
medidas são da forma 
n
 (com n  3, inteiro). Incluem-se nestes casos 
, , , , etc.
3 4 5 6 10
     
 
67 
Primeiramente, observemos que, se dividirmos a circunferência em n partes 
iguais (n  3), dois pontos de divisão P e Q sucessivos determinam a corda PQ, 
que é o lado do polígono regular inscrito de n lados. Sua medida é indicada por n. 
A figura 4.11 dá alguns exemplos. 
 
 
a) pentágono regular (n = 5) b) octógono regular (n = 8) 
 
 
c) hexágono regular (n = 6) d) decágono regular (n = 10) 
 
Fig. 4.11 
 
O ângulo P OQ é a enésima 
parte da circunferência e mede, 
portanto, 2
n
 (fig. 4.12). Se os pontos P 
e Q são marcados de modo que a 
corda PQ seja perpendicular ao eixo 
Ox. então o arco AQ tem medida 
n
 e 
resulta 
nsen
n 2
  
(n  3, inteiro) Fig. 4.12 
 
68 
Da Geometria conhecem-se as expressões dos lados dos polígonos 
regulares em função do raio da circunferência circunscrita. Temos, por exemplo: 
3
4
6
8
10
r 3 (triângulo equilátero)
r 2 (quadrado)
r (hexágono regular)
r 2 2 (octógono regular)
5 1r (decágono regular)
2



 
 





 
 
Lembrando que a circunferência trigonométrica tem raio r = 1, obtemos os 
valores: 
3
4
6
8
10
3sen
3 2 2
2sen
4 2 2
1sen
6 2 2
2 2sen
8 2 2
5 1sen
10 2 4
  
  
  
  
  





 
 
 
Exercício Resolvido 
 
4.8) Calcule sen 
12
 . 
 
Solução 
Vamos determinar inicialmente a 
expressão de 12 em função do raio da 
circunferência circunscrita. A figura 
acima representa um dodecágono 
regular inscrito na circunferência de 
raio r. Observe que a medida do 
segmento PQ é 6 = r. No triângulo 
retângulo AA'Q podemos escrever 
2
AQ A ' A MA  onde 12AQ A ' A 2r   e MA r OM.  
Assim, 
2
12 2r(r OM)  
 
 
69 
Mas no triângulo retângulo OMQ temos 
2 2 2
OM OQ MQ  , isto é, 
2 2 22 2 26
2 2
12
12
r 3rOM r r
2 4 4
r 3Então, 2r r r (2 3 )
2
e finalmente, r 2 3 .



       
       
 
 
 Pondo r = 1, obtemos 
12 2 3sen .
12 2 2
   
 
 
Exercícios Propostos 
 
4.9) Dê o sinal de cos (– 2187º). 
 
4.10) Dê o sinal de sen (– 3295º). 
 
4.11) Determine o valor de cos 3465°. 
 
4.12) Determine o valor de sen 4290º. 
 
4.13) Dê o valor de sen 793º (utilizando a tabela que se encontra no final deste 
volume). 
 
4.14) Sendo 
21 msen x
2
 , determine cos x. 
 
4.15) Sendo 2 sen x cos x 2   , calcule sen x e cos x. 
 
4.16) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que 
a) 2cos x
2
  
b) 1sen x
2
 
 
4.17) Prove que 4 5 cos 3 5 sen 0
3 5 sen 4 5 cos
        
 
4.18) Prove que 
cos3 – sen3 = (cos  – sen ) (1 + sen ·cos ) 
 
4.19) Prove que 
(1 + sen x + cos x)2 = 2(1 + sen x) (1 + cos x) 
 
 
70 
4.20) Prove que 
sen2 + sen2 – sen2·sen2 + cos2·cos2 = 1 
 
4.21) Simplifique a expressão 
sen6x + cos6x + 3sen2x·cos2x 
 
4.22) Calcule sen 
16
 
 
4.23) Calcule cos 
8
 
 
 
78 
Exercícios Resolvidos 
 
5.6) Simplifique a expressão 
y = (1 – sen2) (1 + cotg2) 
 
Solução 
Lembrando que 1 – sen2 = cos2 e que coscotg
sen
   , escrevemos: 
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
cos sen cosy (1 sen )(1 cotg ) cos 1 cos
sen sen
cos cotg
sen
                            
  
 
5.7) Demonstre a identidade 
 tg x tg y tg x tg y
cotg x cotg y
   
 
Solução 
Vamos desenvolver a expressão do 1º membro: 
tg x tg y tg x tg y tg x tg y tg x tg y(tg x tg y)
cotg x cotg y tg x tg ytg x tg y1 1
tg x tg y tg x tg y
tgx tgy
                  
 
 
 
5.8) Sendo cotg x = m, escreva em função de m a expressão y = cos2x – sen2x. 
 
Solução 
Em 1º lugar, partindo da identidade cos xcotg x
sen x
 , escrevemos 

2
2
2cos x m
sen x
 donde  
2
2
2
1 sen x m
sen x
. Desta última igualdade resulta 
 
2
2
1sen x
1 m
. Além disso, temos cos2x = 1 – sen2x = 1 –  
2
2 2
1 m
1 m 1 m
 
Sendo assim, a expressão dada fica: 
y = cos2x – sen2x =  
2
2 2
m 1
1 m 1 m
 
isto é,  
2
2
m 1y
m 1
 
 
5.9) Simplifique 
2
2 2
cotg a 1y
1 cotg a 1 tg a
   
 
 
84 
5.21) Sendo cotg x = m, calcule cos x. 
 
5.22) Se tg x = 
2 p
1 p , calcule cos x. 
 
5.23) Dado que 3cos2x – sen2x = 2, calcule tg x e cotg x. 
 
5.24) Dado que (a – 1)sen2x + (a + 1)cos2x = a, calcule tg x e cotg x. 
 
5.25) Determine os valores de m para que se tenha, simultaneamente: 
 2m 3 2m 1tgx e cotgx
m 3m
   
 
5.26) Determine todos os valores de x no intervalo –2  x  2, que satisfazem a 
condição: 
a) tg x = –1 
b) 3cotgx
3
 
c) tg x = – 3 
d) cotgx 3  
e) tg x = 0 
 
5.27) Determine todos os valores de x no intervalo –  x   que satisfazem a 
condição: 
a) cotg x = –1 
b) 3tgx
3
 
c) cotgx 3  
d) 3tgx
3
  
e) cotg x = 0 
 
5.28) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que: 
a) tg x = 0 
b) cotg x = –1 
c) tg x = 3 
d) cotg x = 0 
e) 3tgx
3
  
f) tg2x = 1 
g) cotg2x = 3 
h) tg x + cotg x + 2 = 0 
 
5.29) Sendo A e B arcos de 1º quadrante, tais que sen A cos A1 2 10e ,
sen B 2 cos B 5
  
determine tg A e tg B. 
 
85 
5.30) Simplifique cada uma das expressões dadas abaixo: 
a) y = cotg2·tg·sen + tg2·cotg ·cos  
b) y = sen ·cos ·tg  
c) cos (1 sen )y
1 cos tg
       
d) y = tg ·sen  + cos  
e) y = (1 + tg2) (1 + cotg2) (1 – cos2) 
f) 1 cotgy
1 tg
    
g) y = 2cos  – sen  (cotg  – tg ) 
h) 
2
2
t gy
1 tg
   
i) 2 2 2 2
t g cotgy
(1 tg ) (1 cotg )
      
 
5.31) Prove as identidades seguintes: 
a) (tg  + cotg ) sen ·cos  = 1 
b) 
2
2
2
1 t g 2cos 1
1 tg
      
c) [(cotg  + cos )2 – (cotg  – cos )2]2 = 16(cotg2 – cos2) 
 
 
92 
6.2) Prove que 
cossec4 – cossec2 = cotg4 + cotg2 
 
Solução 
Lembrando que cossec2 = 1 + cotg2, podemos escrever 
cossec4 – cossec2 = cossec2·[cossec2 – 1] = 
= (1 + cotg2) [(1 + cotg2) – 1] = 
= (1 + cotg2)·cotg2 = cotg4 + cotg2
 
6.3) Prove que 
sec x tg x sec x tg x 2(sec x cossec x)
cossec x cotg x cossec x cotg x
     
 
SoIução 
Partindo da expressão do 1º membro: 
sec x tg x sec x tg x
cossec x cotg x cossec x cotg x
(sec x tg x)(cossec x cotg x) (sec x tg x)(cossec x cotg x)
(cossec x cotg x)(cossec x cotg x)
   
      
 
O denominador desta fração é igual a 
cossec2x – cotg2x = (1 + cotg2x) – cotg2x = 1 
Podemos então desenvolver o numerador: 
sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cossec x – tg x·cotg x – sec x·cossec x – 
sec x·cotg x + tg x·cosssec x + tg x·cotg x = 2(tg x·cossec x – sec x·cotg x) = 
sen x cos x1 1 1 12 2 2(sec x cossec x)
cos x sen x cos x sen x cos x sen x
                 
 
6.4) Sendo sec  – tg  = a (a  0), calcule sen  
 
Solução 
Podemos escrever sen1 a
cos cos
   
donde a·cos  = 1 – sen  
Elevando ao quadrado, resulta 
a2cos2 = (1 – sen )2 
isto é, a2(1 – sen2) = (1 – sen )2 
ou a2(1 – sen ) (1 + sen ) – (1 – sen )2 = 0 
e (1 – sen ) [a2(1 + sen ) – (1 – sen )] = 0 
 
Há dois casos a considerar: 
1) 1 – sen  = 0, donde sen  = 1. Esta resposta é inaceitável, pois 
teríamos cos  = 0 e assim não existiriam sec  e tg . 
2) a2(1 + sen) – (1 – sen) = 0 
 
 
93 
Desta equação tiramos 
2
2
1 asen
1 a
   
 
 
Exercícios Propostos 
 
6.5) Dado sen x = –0,60, calcule as demais razões trigonométricas de x. 
 
6.6) Dado 7tg x
3
 , calcule as demais razões trigonométricas de x. 
 
6.7) Dado 5sec x
2
  , calcule as demais razões trigonométricas de x. 
 
6.8) Dado 2sec x t 1 (t 0)   , calcule as demais razões trigonométricas de x. 
 
6.9) Sendo cossec x = m, calcule tg x. 
 
6.10) Determine os valores de p para os quais é possível a igualdade sec x = 2p2 – 1. 
 
6.11) Determine m para que se tenha, simultaneamente: tg x = 3m + 3 e 
sec x = m + 2. 
 
6.12) Sendo m e n números positivos tais que cossec x m n
m(m n)
  , determine 
tg x. 
 
6.13) Simplifique as expressões: 
a) 1 seny
sec tg
     
b) y = (sec4 – sec2)·cos4 
c) cossec cotg cossec cotgy
cossec cotg cossec cotg
            
d) y = (1 – cos ) (cosssec  + cotg ) 
 
6.14) Prove cada uma das identidades seguintes: 
a) (1 – cotg x)2 + (1 – tg x)2 = (sec x – cossec x)2 
b) sec x cossec x tg x cotg x
tg x cotg x sec x cossec x
   
 
 
 
119 
Exercícios Suplementares 
 
II.1) Utilizando a tabela, dê o valor de: 
a) sen 3973º 
b) cos 415º 
c) tg 3297º 
d) cotg 11
2
 
e) sec 142
3
 
f) cossec 19
3
 
 
II.2) Calcule sen x e cos x, sendo: 
8sen2x + 2cos2x = 5sen x + 1 
 
II.3) Calcule sen x e cos x, sendo sen x·cos x = 2 5
9
 
 
II.4) Calcule sen x e cos x, sendo: 
2(sen3x + cos3x) = sen x + cos x 
 
II.5) Calcule sen x e cos x, sendo: 
sen x + acos x = a 
 
II.6) Calcule sen x e cos x, sendo 
(m + 1)sen x + (m – 1)cos x = m + 1 (m  1) 
 
II.7) Prove que 2cos2 – 1 = 
2
2
1 tg
1 tg
 
  
 
II.8) Prove que: 
1 + (1 + 2tg2x)sen2x = 2tg2x + cos2x 
 
II.9) Sendo cos  + cos  = a e sen  + sen  = b, calcule 
cos ·cos  + sen ·sen . 
 
II.10) Prove que: 
 4 4 tg x cotg x 2 sen x cos x
4 tg x cotg x 2 sen x cos x
    
 
II.11) Prove que  4 4 2cos x sen x cos x 2 sec x
2 sec x
   
 
II.12) Sendo tg  = 
2 2
b
a b
, simplifique: 
 y = sen (1 + tg ) + cos (1 + cotg ) – sec  
 
120 
II.13) Simplifique: 
y = cotg2x(tg x – sen x)(sec x + 1) 
 
II.14) Simplifique 1 1y
1 cos 1 cos
     
sendo  de 1º quadrante. 
 
II.15) Simplifique 
2
2 2
(tg x cotg x)y
sec x cossec x
  
 
II.16) Sendo asen x
a b
  e cos x > 0, calcule as demais razões trigonométricas 
de x. 
 
II.17) Sendo cos x = 
2 2
2 2
a b
a b

 com a > b > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões 
trigonométricas de x. 
 
II.18) Sendo a btg x ,
a b
  com a > b > 0 e cos x < 0, calcule as demais razões 
trigonométricas de x. 
 
II.19) Sendo cotg m nx
2 mn
 , com m > n > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões 
trigonométricas de x. 
 
II.20) Sendo cotg  + cossec  = m (m  0), calcule cos . 
 
II.21) Determine m para que se tenha simultaneamente m 3sen x
5
 e 
2m 4cos x
5
 . 
 
II.22) Determine m para que se tenha simultaneamente cotg x = 3 m + 1 e 
cossec x = 2m + 2 . 
 
II.23) Sendo sen x + cos x = a, calcule sen3x + cos3x. 
 
II.24) Sendo sen x + cos x = a, calcule tg3x + cotg3x. 
 
II.25) Prove que: 
tg2·sec  + sen2(sec  + cos ) = sec3 – cos3
 
II.26) Utilizando redução ao 1º quadrante, calcule sen A + cos 2A + tg 3 A, sendo 
 535A
12
 
 
121 
II.27) Resolva a equação cos 32x
3 2
     , no conjunto-universo U = [–; ] 
 
II.28) Resolva a equação tg 3x = –1, no conjunto-universo U = . 
 
II.29) Sendo x = arc sen 1
5
, calcule tg x. 
 
II.30) Sendo x = arc tg 1
2
, calcule sen x. 
 
II.31) Resolva a equação 
arc sen  3x 1 = arc cos x 
 
II.32) Resolva a equação 
2 13 1arc cos arc tg x
13 2
     
 
II.33) Calculey = sen (arc tg 2) 
 
II.34) Calcule y = sec (arc cotg a) 
 
II.35) Resolva a equação tg x + 3 cotg x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2]. 
 
II.36) Resolva a equação tg2x = 2sec x – 1 no conjunto-universo U = [–; ]. 
 
II.37) Resolva a equação 8cos2x + sec x = 0 no conjunto-universo U = . 
 
II.38) Resolva a equação 4sen x cos x + 3 = 0 no conjunto-universo U = [0; 2]. 
 
II.39) Resolva a equação sec2x + cossec2x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2]. 
 
II.40) Resolva a equação 2 2
2 3 7
cos x cotg x
  no conjunto-universo U = . 
 
128 
 cos cos cos sen sen
4 1 3 2 2 4 6 2 4 6 2
5 3 5 3 15 15 15
          
            
 
 
9.2) Calcule cos 105º, utilizando os senos e cossenos de 60º e 45º. 
 
Solução 
Como 105º = 60º + 45º, temos: 
cos 105º = cos(60º + 45º) = cos 60º·cos 45º – sen 60º·sen 45º = 
1 2 3 2 2 6donde cos 105º
2 2 2 2 4
     
 
9.3) Demonstre a identidade 
cos(a + b)·cos(a – b) = cos2a – sen2b 
 
Solução 
1º membro = cos(a + b)·cos(a – b) = 
= (cos a·cos b – sen a·sen b) · (cos a·cos b + sen a·sen b) = 
= cos2a·cos2b – sen2a·sen2b = cos2a·(1 – sen2b) – (1 – cos2a)·sen2b = 
= cos2a – cos2a·sen2b – sen2b + cos2a·sen2b = cos2a – sen2b = 
= 2º membro 
 
 
9.4. ARCOS (OU ÂNGULOS) COMPLEMENTARES 
Dois arcos cujas medidas tem soma igual a 
2
 (ou igual a um côngruo 
de 
2
) são chamados complementares; (30º; 60º), 5 11; , ;
12 12 8 8
              são 
exemplos de pares de arcos complementares. Assim, se  é a medida de um 
arco,   
2
 é a medida de um seu complementar. 
 
Propriedade: se dois arcos são complementares, o cosseno de um deles 
é igual ao seno do outro, isto é: 
 
      
      
cos sen
2
sen cos
2
 
 
A verificação da primeira igualdade é simples: basta desenvolver o cosseno 
da diferença; assim: 
 
129 
cos cos cos sen sen
2 2 2
como cos 0 e sen 1, vem :
2 2
            
  
 
      cos sen2 
 
Para verificarmos a segunda relação efetuamos uma mudança de variável; 
assim, na igualdade (já verificada) 
    cos x sen x2 
fazemos a substituição   x
2
, da qual resulta            x2 2 2 ; logo 
cos sen
2
       . 
 
 
Interpretação Geométrica 
Se P e Q são, respectivamente, as extremidades dos arcos de medida 
e
2
   (fig. 9.5), é imediato que AÔP = QÔB (medida ). 
 
Fig. 9.5 
Assim, a bissetriz b dos quadrantes ímpares contém a bissetriz OD do 
triângulo isósceles POQ. Portanto, P e Q são simétricos em relação a b. 
Podemos então concluir que arcos complementares tem extremidades 
simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
Podemos agora deduzir facilmente as relações entre as demais razões 
trigonométricas: 
sen
cos2tg cotg
2 sencos
2
                      
 
 
130 
1 1cotg tg
2 cotgtg
2
1 1sec cossec
2 sencos
2
                
                
 
1 1cossec sec
2 cossen
2
                
 
 
Temos, assim, a seguinte tabela de relações: 
 
      sen cos2 
      cos sen2 
tg cotg
2
       cotg tg2
       
sec cossec
2
       cossec sec2
       
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
9.4) Simplifique a expressão: 
 
   
sen 10º cos 50º tg 65º
y
cos 80º sen 40º cotg 25º
       
 
Solução 
Usando as fórmulas de mudança de sinal, vem: 
 
sen 10º cos 50º tg 65ºy
cos 80º sen 40º cotg 25º
     
Notando, agora, que 10º + 80º = 90º, 50º + 40º = 90º e 65º + 25º = 90º, as 
relações entre arcos complementares nos permitem escrever: 
 
sen 10º cos 50º tg 65ºy
sen 10º cos 50º tg 65º
     
logo, y = –1 
 
9.5) Sendo x um arco qualquer, calcule o valor da expressão 
             
2 2y sen x sen x
6 3
 
 
 
131 
Solução 
Basta notar que 
                  x x ;6 3 6 3 2 
portanto,             sen x cos x3 6 ; assim 
                               
2 2 2 2y sen x sen x sen x cos x
6 3 6 6
 
logo, y = 1 
 
9.6) Sendo  e  dois arcos complementares tais que sen  – sen  = m, calcule 
o produto sen ·sen  
 
Solução 
Temos sen  = cos ; assim, a diferença dada fica 
sen  – cos  = m 
Elevando ao quadrado ambos os membros, vem 
sen2 – 2sen ·cos  + cos2 = m2 
ou 
1 – 2sen ·cos  = m2 
e daí 
   
21 msen cos
2
 
Então 
   
21 msen sen
2
 
 
9.7) Calcule o valor da expressão 
y = sen 41º · sen 42º · sen 43º · sen 44º · sen 45º · sec 46º · sec 47º · sec 48º · sec 49º 
 
Solução 
Notando que 
41º + 49º = 90º, temos que sec 49º = cossec 41º 1
sen 41º
 ; 
portanto, sen 41º · sec 49º = 1. 
Pelo mesmo motivo, 
sen 42º · sec 48º = 1 
sen 43º · sec 47º = 1 
sen 44º · sec 46º = 1 
Assim, a expressão dada se reduz a 
y = sen 45º 
logo, 2y
2
 
 
136 
9.7. RESUMO 
 
1º) Mudança de sinal do arco (ou ângulo) 
 
 sen sen     cos cos   
 tg tg     cotg cotg    
 sec sec    cossec cossec    
 
2º) Arcos (ou ângulos) complementares 
 
sen cos
2
       cos sen2
       
tg cotg
2
       cotg tg2
       
sec cossec
2
       cossec sec2
       
 
3º) Soma e diferença de arcos (ou ângulos) 
 
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a 
sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a 
cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b 
cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b 
  tg a tg btg a b 1 tg a tg b      tg a tg btg a b 1 tg a tg b    
 
 
Exercícios Propostos 
 
9.14) Dado que 3sen ,
5 2
      , determine: 
a) sen (–) 
b) cos (–) 
c) tg (–) 
 
9.15) Sendo sen (x – y) = a, calcule a para que se tenha 
3·sen (y – x) + 2cos2(y – x) = 0. 
Resolva, em seguida, a equação sen (x – y) = a, para x – y no 1º quadrante. 
 
9.16) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor 
numérico 
 
137 
a) y = cos 3x·cos x + sen3x·sen x 
b) y = cos 65º·cos 25º – sen 65º·sen 25º 
c) y = cos 70º·cos 10º + sen 70º·sen 10º 
 
9.17) Calcule cos 75º e cos 15º, usando, para ambos, as fórmulas de cos(a + b) 
ou cos(a – b). 
 
9.18) Se 2sen ,
3 2
      , calcule cos x
4
    . 
 
9.19) Calcule cos 3 1arc sen arc sen
5 2
    . 
 
9.20) Dado que 3sec 3, 2
2
      , determine: 
a) sen
2
     
b) cos
2
     
c) tg
2
     
 
9.21) Sendo cos x a,
4
     determine: 
a) cos x
4
    
b) sen x
4
    
 
9.22) Sendo cos x m
3
     , determine sen x 6
    . 
 
9.23) Simplifique as expressões 
a) 
 
 
sen x cos x sen x cos x
2 2
y
1 tg x cotg x
2
                     
 
b) 
 
 
cos a b tg x
12
y
5cos b a cotg x
12
           
 
 
9.24) Calcule o valor da expressão: 
y = tg 1º · tg 2º · tg 3º · ... · tg 88º · tg 89º 
 
138 
9.25) Calcule o valor da expressão: 
y = 2 · cos 26º · cos 27º · cos 28º · cos 29º · cos 30º · cossec 61º · cossec 62º 
· cossec 63º · cossec 64º 
 
9.26) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determineseu valor 
numérico: 
a) y = sen 2a·cos a – sen a·cos 2a 
b) y = sen
5
 ·cos 4
5
 + sen 4
5
 ·cos
5
 
 
9.27) Calcule sen 105º. 
 
9.28) Calcule 3 24sen arc sen arc tg
2 7
    
. 
 
9.29) Mostre que sen (a + b)·sen (a – b) = cos2b – cos2a. 
 
9.30) Calcule tg 15º. 
 
9.31) Supondo satisfeitas as condições de existência, mostre que: 
cos x sen xtg x
4 cos x sen x
      
 
9.32) Determine tg x, sabendo que: 
tg x tg x 2
4 4
              
 
9.33) Sendo 
4
    , mostre que: 
   1 tg 1 tg 2      
 
9.34) Mostre que, se x + y + z = 
2
 , então 
tg x·tg y + tg x·tg z + tg y·tg z = 1 
 
9.35) Se cotg  e cotg  são raízes da equação x2 + bx – 1 = 0, calcule cotg(+ ), 
sabendo que b  0. 
 
9.36) São dadas, a seguir, três equações do 2º grau com seus respectivos 
conjuntos-solução: 
E1: x2 – sx + p = 0, S1 = {sen (a + b); cos (a – b)} 
E2: x2 – s1x + p1 = 0, S2 = {sen a; cos a} 
E3: x2 – s2x + p2 = 0; S3 = {sen b; cos b} 
Mostre que s = s1·s2 e que p = p1 + p2 
 
 
 
147 
9.44) Simplifique as expressões: 
a) 
 
   
3sen 2 tg cotg
2 2y
cos 2 tg
                          
b) 
   
   
3 3sen cos sen cos
2 2y
cos cos 2 sen sen
2 2
                                             
 
 
9.45) Se tg 35º = a, calcule: 
tg 215º tg 125ºy
tg 235º tg 325º
  
 
9.46) Simplifique a expressão: 
 9 13sen sen cos 72 2           
 
9.47) Calcule a expressão: 
   
 
cos x 1620º tg x 630º
y sen 990º ,
sen 900º x
     sabendo que 
5sen x
5
 
9.48) Avalie a expressão: 
E = sen 0º + sen 1º + sen 2º + ... + sen 360º 
 
9.49) Avalie a expressão: 
E = cos 20º + cos 40º + cos 60º + ... + cos 180º 
 
9.50) Mostre que, se x, y e z são ângulos internos de um triângulo não retângulo, 
então tg x, tg y e tg z tem sua soma igual ao seu produto. 
 
 
166 
11.6. RESUMO 
 
1º) Fórmulas de transformação em produto 
 
p q p qsen p sen q 2 sen cos
2 2
    
p q p qsen p sen q 2 sen cos
2 2
    
p q p qcos p cos q 2 cos cos
2 2
    
p q p qcos p cos q 2 sen sen
2 2
     
 sen p q
tg p tg q
cos p cos q
   
 sen p q
tg p tg q
cos p cos q
   
 
2º) Fórmulas de reversão 
 
   1sen a cos b sen a b sen a b2        
   1cos a cos b cos a b cos a b2        
   1sen a sen b cos a b cos a b2         
 
 
Exercícios Propostos 
 
11.11) Transforme em produto as expressões: 
a) sen 6x + sen 2x c) sen x – sen 3x 
b) cos 7x + cos 3x d) cos 3x – cos 9x 
 
11.12) Transforme em produto as expressões: 
a) 1 – 2sen 2x c) sen x + cos x 
b) sen 2x + 2sen x d) sen 3x – cos x 
 
11.13) Transforme em produto as expressões: 
a) sen 11x + sen 3x + sen 15x – sen x 
b) cos 5x + cos x + sen 9x + sen 3x 
 
11.14) Simplifique a expressão: 
 
cos 9x cos 7xy
sen 9x sen 7x
 
 
167 
11.15) Simplifique a expressão: 
sen 100º sen 20ºy
cos 100º cos 20º
  
 
11.16) Sendo a b
3
  , calcule o valor de: 
sen a sen by
cos b cos a
  
 
11.17) Utilizando as fórmulas de transformação em produto, demonstre que: 
sen2a – sen2b = sen (a + b)·sen (a – b) 
 
11.18) Transforme em produto a expressão sen23x – cos2x 
 
11.19) Demonstre que: 
tg 3x – tg x = 2sen x·sec 3x 
 
11.20) Demonstre que: 
acotg a tg cossec a
2
  
 
11.21) Adotando cos 10º = 0,98, calcule o valor de tg 10º + tg 40º 
 
11.22) Sabendo que x ysen 0
2
  e que: 
  x ya tg x b tg y a b tg ,2   prove que a cos y = b cos x 
 
11.23) Transforme os produtos abaixo em somas ou diferenças: 
a) sen 40º·cos 12º 
b) 2cos 5x·cos x 
c) 2sen 3x·sen 2x 
 
11.24) Calcule o valor das expressões: 
a) 5y sen cos
24 24
   
b) 7y cos cos
12 12
   
c) 3 9y 2 sen sen
24 24
  
 
11.25) Simplifique a expressão: 
y = sen x (2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x + 1) 
 
11.26) Sendo cos 10º = a, calcule o valor da expressão: 
y = 8cos 65º·cos 25º·cos 145º·cos 125º 
 
 
168 
Exercícios Suplementares 
 
III.1) Resolva a equação 1sen( x)
2
  
 
III.2) Simplifique a expressão: 
   cos 3x cos x sen 3x sen xy 1 2 cos 2x 1 2 cos 2x     
 
III.3) Calcule sen 285º, conhecidos os senos e cossenos de 30º e 45º. 
 
III.4) Sendo e  ângulos agudos de um triângulo retângulo, verifique que: 
 sen 2 cos 3     
 
III.5) Dados 2 5sen a , 0 a e sen b , 0 b
3 2 5 2
       , calcule o valor de 
sen (a – b) + cos (a + b). 
 
III.6) Mostre que   cotga cotgb 1cotg a b cotga cotgb    
 
III.7) Sendo a b
3
   , calcule o valor de    y 1 3 cotg a 1 3 cotg b     . 
 
III.8) Simplifique a expressão: 
 
 
cotg tg 2
2
y
3t g 2 cotg 2 1
2
                  
 
 
III.9) Calcule a expressão: 
 sen arc sen a cos arc sen b2
y
3cos arc sen a sen arc cos b
2 2
                   
 
 
III.10) Se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, mostre que: 
cotg A·cotg B + cotg A·cotg C + cotg B·cotg C = 1 
 
III.11) Calcule 1sen 2 arc cos
3
    
 
III.12) Calcule 3cos 4 arc sen
4
    
 
 
169 
III.13) Calcule 1tg arc tg 2
2
    
 
III.14) Verifique as identidades: 
a) 2sen  – sec  = sec ·(sen 2 – 1) 
b) 2cos  – sec  = sec ·cos 2 
 
III.15) Calcule cos 15º de dois modos: 
1º) utilizando o fato 15º = 45º – 30º 
2º) utilizando o fato 15º = 30º
2
 
 
III.16) Sendo n  *, calcule o valor de 
 
 
 
 
sen 3n cos 3n
y
sen n cos n
    
 
III.17) Sabendo que sen 2x = m, calcule o valor de: 
2 2y sen x cos x
4 4
              
 
III.18) Simplifique a expressão sen3x sen xy
4sen x
 
 
III.19) Sendo x y
4
  , calcule cos x cos yy
sen x sen y
  
 
III.20) Simplifique a expressão: 
sen 40º sen 10ºy
cos 80º cos 50º
  
 
III.21) Simplifique a expressão: 
 2cos cos 7y 2 sen sen 5 sen        
 
III.22) Transforme em produto a expressão cos2a – cos2b. 
 
III.23) Transforme em produto a expressão sen a + sen b + sen c, sabendo que a, 
b e c são ângulos internos de um triângulo. 
 
III.24) Transforme em produto a expressão: 
 sen a b
tg a tg b
sen a sen b
   
 
III.25) Calcule o valor de 
y = tg 9º – tg 27º – tg 63º + tg 81º 
 
182 
Obtemos então y k  , ou seja, 
x k
4 2
    
donde x 2k
2
    
 S x | x 2k k
2
          
 
 
12.2. EQUAÇÕES CLÁSSICAS 
Denominamos equações clássicas certos tipos de equações em cuja 
resolução se utilizam artifícios especiais. Analisaremos aqui os três tipos mais 
importantes, com seus métodos de resolução. 
 
 
12.3. 1ª EQUAÇÃO CLÁSSICA 
Trata-se da equação 
 
asen x + bcos x = c (ab  0) 
 
Há dois métodos principais. O primeiro, que consiste em colocar sen x e cos x 
em função de xtg t
2
 , deve ser utilizado de preferência quando os coeficientes são 
literais e se impõe uma discussão. O segundo, mais indicado nos problemas 
numéricos, utiliza o ângulo auxiliar. 
 
1º método 
 
Conhecemos as expressões de sen x e cos x em função de xtg t
2
 : 
2
2 2
2t 1 tsen x e cos x
1 t 1 t
   
Com esta substituição,a equação clássica fica 
   2
2 2
b 1 t2 at
c
1 t 1 t
   
ou seja, após as simplificações: 
(b + c)t2 – 2at + c – b = 0 (I) 
Esta equação (I) permite calcular t e, em seguida, tendo-se xtg t
2
 , 
podemos calcular x: x = 2 arc tg t + 2k  . 
Supondo b + c  0, a equação (I) admitirá raízes se e somente se 
   24a 4 b c c b 0      
isto é, se 
 
183 
a2 + b2  c2 
 
Note-se, porém, que, adotando-se xtg
2
 como incógnita auxiliar, corre-se o 
risco de perder a solução x =  + 2k, que corresponderia à situação em que xtg
2
 
não existe. 
Verifiquemos em que caso isto aconteceria: se x =  + 2k for solução, 
teremos, para esse valor de x, sen x = 0 e cos x = –1, de modo que na equação 
a sen x + b cos x = c, obteríamos b + c = 0. 
 
Conclusão: se b + c = 0, teremos a solução x =  + 2k e, além desta, a 
solução c bt
2a
 que se obtém de (I). Se b + c  0, teremos apenas as soluções 
dadas por (I). 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
12.13) Resolva a equação 
2sen x + 3cos x = 1 
 
Solução 
Temos a = 2, b = 3 e c = 1 
Pondo xtg t
2
 ,obtemos sen 22tx 1 t  e 
2
2
1 tcos x
1 t
  . A equação fica 
 2
2 2
3 1 t4t 1
1 t 1 t
   
isto é, 2t2 – 2t – 1 = 0. 
Dai resulta 1 3t
2
 , donde 
x 1 3arc tg k
2 2
      
 
e, finalmente, x = 2 1 3arc tg 2k .
2
      
 
Como b + c = 4  0, segue que a solução x 2k    não satisfaz. Sendo 
assim, 
 1 3S x | x 2 arc tg 2k k
2
              
  
 
 
12.14) Resolva a equação 
3 sen x cos x 1  
 
184 
Solução 
Temos a 3 , b = –1 e c = 1. Pondo xtg t
2
 , vem 22tsen x 1 t  e 
2
2
1 tcos x
1 t
  . 
A equação fica 
2
2 2
2 3t 1 t 1
1 t 1 t
   
isto é, 3t
3
 . Daí resulta x k
2 6
   
donde x 2k
3
   . 
Neste caso, temos b + c = 0; logo, os valores de x dados por x =  + 2k 
também constituem solução, como se pode verificar diretamente, pondo 
sen x = 0 e cos x = –1 na equação dada. Temos então 
 S x | x 2k ou x 2k k
3
              
 
12.15) Resolva e discuta a equação msen x + cos x + 3m – 1 = 0. 
 
Solução 
Temos a = m, b = 1 e c = 1 – 3m. Há dois aspectos a observar: 
primeiramente, se m = 0 ou m  0 e, em segundo lugar, se b + c = 0 ou 
b + c  0. Como b + c = 2 – 3m teremos b + c = 0 para 2m
3
 . Vamos 
então analisar separadamente os três casos: 
1º) m = 0 
2º) 2m
3
 
3º) 2m 0 e m
3
  
1º caso: suponhamos m = 0. A equação fica cos x = 1, donde resulta 
  S x | x 2k k      
2º caso: suponhamos 2m
3
 . A equação fica 2
3
sen x + cos x + 1 = 0. 
Pondo 
2
2 2
x 2t 1 ttg t,sen x e cos x ,
2 1 t 1 t
    obtemos  
2
22
4t 1 t 1 0
1 t3 1 t
   
isto é, 3t
2
  . Resulta x
2
 = arc 3tg k
2
      . 
Temos então 3x 2 arc tg 2k
2
       e ainda x 2k    . Assim, 
 
185 
 3S x | x 2 arc tg 2k ou x 2k k
2
                 
 
3º caso: suponhamos 2m 0 e m
3
  . Pondo xtg t
2
 , 22tsen x 1 t  e 
2
2
1 tcos x ,
1 t
  obtemos 
2
2 2
2m t 1 t 3m 1 0
1 t 1 t
     
isto é (3m – 2)t2 + 2mt + 3m = 0. 
A equação admitirá solução se e somente se  = 4m2 – 4(3m – 2)·3m  0, 
ou seja, 30 m
4
  
Como 2m 0 e m
3
  , devemos ter 
2 2 30 m ou m
3 3 4
    
Se t1 e t2 são as raízes desta equação do 2º grau, escrevemos 
  1 2S x | x 2 arc tg t 2k ou x 2 arc tg t 2k k          
 
2º método: ângulo auxiliar 
 
Dada a equação asen x + bcos x = c (ab  0), podemos escrever 
b csen x cos x
a a
  
Seja barc tg
a
  (valor que pode ser obtido, por exemplo, por meio de uma 
tabela). Podemos fazer a substituição 
b sentg
a cos
    
e a equação fica 
sen csen x cos x
cos a
   
donde csen x cos sen cos x cos
a
     
isto é, 
  csen x cos
a
    
Esta última é uma equação imediata que fornece os valores de x. Haverá 
soluções desde que seja satisfeita a condição 
c1 cos 1
a
    
 
186 
Note que esta condição se escreve 
2
2
2
c cos 1
a
  
e como
2
2
22 2 2 2
2
1 1 1 acos
bsec 1 tg a b1
a
       
 
resulta 
2 2
2 2 2
c a 1
a a b
  
 
e finalmente 2 2 2a b c  
 
Esta condição confirma aquela que encontramos no 1º método. 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
 
12.16) Resolva a equação sen x 3 cos x 1  . 
 
Solução 
Façamos arc tg 3 .
3
   Assim, podemos substituir 3 por 
sen
3tg
3 cos
3

   
A equação fica 
sen
3sen x cos x 1
cos
3

   
ou sen x cos sen cos x cos
3 3 3
     
e finalmente 1sen x
3 2
     . 
Observe a figura. Para o ponto P, temos x 2k
3 6
     
Donde x 2k
6
    e para o ponto Q temos 5x 2k
3 6
     
Donde x 2k
2
   . 
Assim, 
 
187 
 
 S x | x 2k ou x 2k k
6 2
               
 
 
12.17) Resolva a equação sen x – 2·cos x = 1 
 
Solução 
Façamos arc tg 2.  Assim, 
sen2 tg
cos
    
e a equação fica sensen x cos x 1
cos
   
ou seja sen x·cos  – sen ·cos x = cos  
sen (x – ) = cos  
Escrevemos ainda 
 
 
sen x sen
2
sen x sen 0
2
x x2 sen cos 0
2 4 2 4
       
        
               
 
Há 2 casos a considerar: 
I) xsen 0
2 4
     
II) xcos 0
2 4
       
De I) vem x k
2 4
   , donde x 2k
2
   . 
 
188 
De II) vem       x k
2 4 2
, donde 
x 2 2k
2
     . 
Assim, 
 S x | x 2k ou x 2 arc tg2 2k k
2 2
               
 
 
12.4. 2ª EQUAÇÃO CLÁSSICA 
Trata-se da equação 
 
asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d,  abc 0 
 
Há dois métodos principais. O primeiro consiste em colocar a expressão em 
função de tg x = r e é preferível nos casos de coeficientes literais, que exigem 
discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o arco 
dobro para recair na 1ª equação clássica. 
 
1º método 
 
Vamos dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos 
2
2
da tg x b tgx c
cos x
   
e, lembrando que 2 22
1 sec x 1 tg x
cos x
   , 
vem 
atg2x + btg x + c = d(1 + tg2x) 
ou seja: 
2(a d)r br c d 0     (I) 
 
Esta equação (I) permite calcular r para, em seguida, recairmos na equação 
imediata tg x = r. Note, entretanto, que, ao dividirmos ambos os membros por 
cos2x, podemos perder a solução x k
2
   , que corresponderia ao caso cos x = 0. 
Verifiquemos em que situação isto ocorreria. Se x k
2
   for solução, teremos, 
para este valor de x, cos x = 0 e sen x = ± 1, de modo que na equação 
asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d 
obteríamos a = d. 
Conclusão: se a = d, teremos a solução x k
2
   e, além desta, a solução 
d cr
b
 que se obtém de (I). Se a  d, teremos apenas as soluções dadas por (I). 
 
 
189 
Exercício Resolvido 
 
12.18) Resolva a equação 
3cos2x + 4sen x·cos x – sen2x = 2 
 
Solução 
Temos a = –1, b = 4, c = 3 e d = 2. Como a  d, é claro que x k
2
   não 
constitui solução. Podemos então supor cos x  0 e dividir ambos os 
membros da equação por cos2x. Obtemos 
2
2
23 4 tg x tg x
cos x
   
e como 2 22
1sec x 1 tg x
cos x
   
resulta 3 + 4tg x – tg2x = 2(1 + tg2x) 
ou seja: 3tg2x – 4tg x – 1 = 0 
Dai vem 2 7tg x
3
 e assim 
 2 7S x | x arc tg k k
3
              
  
 
2º método: arco dobro 
 
Conhecemos as identidades 
 
 
2
2
1sen x 1 cos2x
2
1cos x 1 cos2x
2
1sen x cos x sen 2x
2
 
 

 
Substituindo estas expressões na equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, 
obtemos 
   a b c1 cos 2x sen 2x 1 cos 2x d
2 2 2
     
Donde bsen 2x + (c – a) cos 2x = 2d – a – c 
Esta é a 1ª equação clássica, cuja resolução já examinamos. 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
12.19) Resolva a equação 
2 23 sen x 2sen x cos x 3 cos x 2    
 
 
190 
Solução 
Façamos a substituição em função do arco 2x: 
   3 31 cos 2x sen 2x 1 cos 2x 2
2 2
      
Donde sen 2x 3 cos 2x 2  
Pondo 
sen
33 tg
3 cos
3

   , a equação fica 
sen
3sen 2x cos 2x 2
cos
3

  
ou sen2x cos sen cos2x 2 cos
3 3 3
    
e então     
2sen 2x
3 2
 
Observe a figura. Para o ponto P, temos 2x 2k
3 4
     , ou seja, 
x k
24
   e para o ponto Q temos 32x 2k
3 4
     , ou seja, 5x k
24
   . 
Assim, 
 
 5S x | x k ou x k k
24 24
               
 
 
12.5. 3ª EQUAÇÃO CLÁSSICA 
Trata-se da equação 
 
a  sen x cos x bsen x cos x c   
 
isto é, uma equação que se exprime em função da soma sen x + cos x e do 
produto sen x cos x. 
Há dois métodos principais. O primeiro baseia-se na mudança de variável 
sen x + cos x = z 
 
191 
O segundo utiliza a mudança de variável 
x y
4
  
 
1º método 
 
Pondo sen x + cos x = z e elevando esta expressão ao quadrado, obtemos 
sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x = z2 
donde 
2z 1sen x cos x
2
  
Substituindo na equação dada, vem 
2z 1az b c
2
    
 
ou seja: 
2bz 2az b 2c 0    (I) 
 
Uma vez calculado z nesta equação (I), recai-se na equação sen x + cos x = z. 
Esta pode ser resolvida por transformação em produto, escrevendo-se 
sen x cos x sen x sen x 2 sen cos x 2 cos x
2 4 4 4
                           
Resulta então a equação imediata 
2 cos x z
4
     
É claro que só são aceitáveis os valores de z dados em (I) tais que 
2 z 2   
 
 
Exercício Resolvido 
 
12.20) Resolva a equação 
sen x + cos x + 2 2 sen x cos x = 0 
 
Solução 
Pondo sen x + cos x = z e 
sen x cos x = 
2z 1
2
 , a equação fica 
 2z 2 z 1 0   
ou seja: 22 z z 2 0   
Daí obtemos 2z ou z 2
2
   . 
 
192 
Para 2z
2
 , vem sen x + cos x = 2
2
 
ou seja, 22 cos x
4 2
     
e finalmente 1cos x
4 2
     
 
Temos então 
x 2k e x 2k
4 3 4 3
            
Para z 2  vem sen x + cos x = 2 , ou seja, 2 cos x 2
4
      e 
finalmente cos x 1
4
      . Temos então x 2k4
     e 
5x 2k
4
   
Assim, 
 5S x | x 2k ou x 2k k
4 3 4
                
 
2º método 
 
Pondo x y
4
  , obtemos 
 
 
2sen x sen y cos y sen y
4 2
2cos x cos y cos y sen y
4 2
      
      
 
Assim, 
sen x cos x 2 cos y  
e sen x·cos x = 1
2
(cos2y – sen2y) = cos2y – 1
2
 
Substituindo estas expressões na equação 
a(sen x + cos x) + bsen x·cos x = c 
obtemos 
2 1a 2 cos y b cos y c
2
      
ou seja: bcos2y + a 2 cos y b
2
 – c = 0 
donde se calcula cos y. 
 
 
193 
 
Exercícios Resolvidos 
 
12.21) Resolva a equação 
sec x + cossec x = 2 2 
 
Solução 
Escrevemos 1 1 2 2
cos x sen x
  
donde, sen x + cos x = 2 2 sen x cos x 
É, portanto, a 3ª equação clássica. Façamos x y
4
  , obtendo (como 
explicado na teoria acima) 
2 1sen x cos x 2 cos y e sen x cos x cos y
2
     
A equação fica 2 12 cos y 2 2 cos y
2
     
donde 2 cos2y – cos y – 1 = 0. 
Aqui obtemos cos y = 1 ou 1cos y .
2
  Para cos y = 1 vem y = 2 k , donde 
x 2k
4
   . Para cos y = 1
2
 vem 2y 2k ,
3
    donde 2x 2k
4 3
     . 
É imediato que estes valores satisfazem as condições de existência de sec x 
e cossec x. Assim, 
 2S x | x 2k ou x 2k k
4 4 3
                
 
12.22) Resolva a equação sen3 x + cos3 x = 1. 
 
Solução 
Fatorando o 1º membro através da identidade 
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 – ab), vem 
(sen x + cos x) (sen2x + cos2x – sen x cos x) = 1 
ou (sen x + cos x)(1 – sen x cos x) = 1 
Pondo sen x + cos x = z e sen x cos 
2z 1x
2
 , a equação fica 
2z 1z 1 1
2
    
 
Isto é, z3 – 3z + 2 = 0 
A expressão do 1º membro, fatorada, resulta (z – 1)2(z + 2). Assim, temos 
z = 1 ou z = –2. Somente o valor z = 1 satisfaz a condição 2 z 2   . 
Recaímos então na equação sen x + cos x = 1, donde 
 
194 
22 cos x 1 ou cos x
4 4 2
              
Portanto, x 2k
4 4
      e finalmente 
x 2k ou x 2k .
2
     Assim, 
 S x | x 2k ou x 2k k
2
            
 
 
12.6. EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM AS RELAÇÕES INVERSAS 
Daremos neste item alguns exemplos de equações que envolvem as 
notações arc sen x, arc cos x, arc tg x e arc cotg x. A variedade dos exercícios 
deste tipo é muito grande, sendo portanto impossível estabelecer uma teoria geral. 
Os exercícios resolvidos a seguir poderão sugerir alguns dos métodos mais 
comuns. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
12.23) Resolva a equação 
arc tg x + arc tg (1 – x) = 2 arc tg 2x x 
 
Solução 
Indiquemos 
= arc tg x, donde tg  = x e 
2 2
     
= arc tg (1 – x), donde tg  = 1 – x e 
2 2
     
 = arc tg 2x x , donde tg  = 2x x e 
2 2
     
A equação dada fica 2    e podemos então escrever 
 
2
tg tg 2
tg tg 2 tg
1 tg tg 1 tg
   
        
 
ou ainda 
 
   
2
2
2
x 1 x 2 x x
1 x 1 x 1 x x
     
 
Nesta equação, o valor de x pode ser calculado. Obtemos 
1 1x e, assim, S
2 2
      
 
 
195 
12.24) Resolva a equação 
arc sen 2x = arc sen x 3 + arc sen x 
 
Solução 
Indiquemos 
 = arc sen 2x, donde sen  = 2x e 
2 2
     
= arc sen x 3 , donde sen  = x 3 e 
2 2
     
 = arc sen x, donde sen  = x e 
2 2
     
A equação dada fica      e, em seguida, escrevemos  sen sen     
sen sen cos sen cos       
Calculemos cos e cos .  Como sen x 3,  obtemos 
2 2 2cos 1 sen 1 3x      e, assim, 2cos 1 3x .    
Mas 
2 2
     , donde se conclui que cos  não é negativo. Portanto, 
2cos 1 3x .   
Como sen  = x, obtemos cos2 = 1 – sen2 = 1 – x2 e sendo 
2 2
     , 
vem 2cos 1 x .   
Com isto, a equação fica 2 22x x 3 1 x x 1 3x      
onde se calculam os valores de x. Obtemos 1x 0 ou x
2
   . 
 
Discussão 
Sendo 2x = sen , devemos ter 1 2x 1   , isto é, 
1 1x
2 2
   
Sendo x 3 sen ,  devemos ter 1 x 3 1   , isto é, 
3 3x
3 3
   
Sendo x = sen  , devemos ter 1 x 1   . 
Nota-se que os três valores encontrados para x satisfazem estas três 
condições. Podemos então escrever 
1 1S 0; ;
2 2
     
 
 
12.25) Resolva a equação 
arc sen x + arc sen (1 – x) = arc cos x 
 
 
196 
Solução 
Indiquemos 
arc sen x, donde sen x e
2 2
        
 arc sen 1 x , donde sen 1 x e
2 2
           
arc cos x, donde cos x e 0        
A equação dada fica     e, em seguida, escrevemos 
 cos cos    
cos cos sen sen cos       
Calculemos cos e cos .  Como sen x e ,
2 2
       vem 
2cos 1 x .   Como  sen 1 x e ,
2 2
        vem 
 22 2 2cos 1 sen 1 1 x 2x x         e então 
2cos 2x x .   
Com isto, a equação fica 
 2 21 x 2x x x 1 x x      
onde se calculam os valores de x. Obtemos x = 0 ou 1x ou x 2.
2
  O 
valor x = 2 não é satisfatório. Escrevemos 
1S 0;
2
     
 
12.26) Resolva a equação 
arc tg x + 2 arc cotg x 2
3
 
Solução 
Indiquemos 
arc tg x, donde tg x e
2 2
         
arc cotg x, donde cotg x e 0        
A equação dada fica 22
3
    e, em seguida, escrevemos 22
3
    
2
2tg 2 tg
3
2tg tg2 tg 3
21 tg 1 tg tg
3
      
       
 
 
197 
2
2
3 xx
1 1 3x1
x
  
 
Nesta equação obtemos x 3 e, assim, 
 S 3 
 
 
Exercícios Propostos 
 
Resolva as equações dadas a seguir: 
 
12.27) sen 7x = sen 5x 
 
12.28) cos 2x = cos x 
 
12.29) tg x cotg 2x
2
     
 
12.30) sen 2x cos x
4
     
 
12.31) 5tg 3x cotg 2x 0
4 2
              
 
12.32) 3 + 2cos 2x = 4cos x 
 
12.33) sec x – cos x = sen x 
12.34) cos a – cos x = sen (x – a) a 2k
2
      
 
12.35)  2 2x a x acos cos 1 cos a 0
2 2
    
 
12.36) sen (a + 2x) + sen (a + x) + sen a = 0 
 
12.37) sen x sen x sen 0
4 3 12
                
 
12.38) 3 31sen x cos x cos x sen x
4
    
 
12.39) cos x·cos 7x = cos 3x·cos 5x 
 
 
260 
 
Função secante 
f(x) = sec x 
D(f) = {x  | x  
2
 + k, (k  )} 
I(f) = {y  | y  –1 ou y  1} 
 
período 2 
função ímpar 
Função cossecante 
f(x) = cossec x 
D(f) = {x  | x  k, (k  )} 
I(f) = {y  | y  –1 ou y  1} 
 
período 2 
função ímpar 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
15.1) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = 2sen x. 
 
Solução 
Temos que, para todo x real, –1  sen x  1; multiplicando essa desigualdade 
por 2, vem: 
–2  2sen x  2 
e daí –2  f(x)  2 
Assim, I(f) = {y  | –2  y  2} 
 
15.2) Determine o domínio da função 
f(x) tg x
3
     
 
Solução 
Sabemos que existe tg  se e somente se 
 k , k2     
Fazemos, então, 
x k
3 2
       
 
261 
e tiramos x k
6
   
Logo 
 D(f ) x | x k , k6          
 
15.3) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = –2 + 3sec x 
 
Solução 
Temos que, para todo x do domínio da função secante, 
sec x  – 1 ou sec x  1; 
multiplicando as desigualdades por 3, vem 
3sec x  –3 ou 3sec x  3; 
subtraindo agora 2, temos 
–2 + 3sec x  –5 ou –2 + 3sec x  1 
e daí 
f(x)  –5 ou f(x)  1 
Assim, I(f) = {y  | y  –5 ou y  1} 
 
15.4) Calcule o valor máximo assumido pela função f(x) = 5sen x · cos x 
 
Solução 
Sabemos que 2sen x·cos x = sen 2x, donde sen x·cos x = 1
2
sen 2x 
Escrevemos então, 
 1 sen 2xsen2x2f(x) 5 5  
Como a base 5 é um número maior que 1, f(x) terá valor máximo quando 
o expoente assumir seu maior valor possível; como o máximo valor de 
sen 2x é 1, temos 
 1máxf 5 5  
 
15.5) Determine o domínio da função 
1f(x)
cotg x
4
    
 
Solução 
Para obtermos o domínio dessa função, devemos impor duas condições: 
que a cotangente exista e que seja diferente de zero. 
1ª) existência de cotg x
4
    
Sabemos que existe cotg  se, e somente se   k; fazemos então, 
 
262 
x k e tiramos x k
4 4
          
2ª) cotg x 0
4
     
Sabemos que cotg   0 para k
2
    ; fazemos, então 
x k e tiramos x k
4 2 4
            
Portanto, 
 D(f ) x | x k e x , k , k4 4               
Observe que, se marcarmos na circunferência trigonométrica os pontos 
correspondentes às extremidades dos arcos k e k
4 4
      , obtemos 
quatro pontos igualmente distribuídos, isto é, que dividem a circunferência 
em quatro partes iguais. Portanto, podemos escrever que 
 kD(f ) x | x , k4 2          
 
k P; P '
4
k Q; Q '
4
  
  
 
 
15.6) Mostre que a função definida por f(x) = x·sen x é par. 
 
Solução 
Vamos calcular f(–x) 
f(–x) = (–x)·sen (–x) = (–x)·(–sen x) ou seja 
f(–x) = x·sen x = f(x) 
Como f(–x) = f(x), a função é par. 
 
 
Exercícios Propostos 
 
15.7) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções: 
a) f(x) = sen 3x 
b) f(x) = 3sen x 
 
263 
c) f(x) = 3 + sen x 
d) f(x) = –2 – cos x 
e) f(x) = 1 + 4cos x
3
    
f) f(x) = |cos x| 
 
15.8) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções: 
a) f(x) = sec 2x 
b) f(x) = –2sec x 
c) f(x) = –2 + sec 2x 
d) f(x) = 2 + 4cossec x 
e) f(x) = |cossec x| 
f) f(x) = |–1 + cossec x| 
 
15.9) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: 
a) f(x) = tg 2x 
b) f(x) = cotg x
5
    
c) f(x) = sec 3x
4
    
 
15.10) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: 
a) 1f(x)
tg 2x
 
b) 1f(x)
sen x cos x
  
c) 1f(x)
cotg x
3
    
 
d) 1f(x)
sen 3x sen x
  
 
15.11) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função 
 f(x) = –1 + 3sen x 
 
15.12) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função 
f(x) = |–1 + 3sen x| 
 
15.13) Determine o valor mínimo assumido pela função 
 f(x) = 4sen x · cos x 
 
15.14) Determine o valor máximo assumido pela função 
f(x) = (0, 1)cos x 
 
15.15) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = sen x – cos x 
 
 
 
264 
15.16) Determine a paridade de cada uma das seguintes funções 
a) f(x) = x3·cos x 
b) f(x) = x·tg x 
c) tg 3x sen xf(x)
cossec 2x
 
d) 
2x cotg 2x sen xf(x)
sec 3x
  
 
 
265 
 
 
 
 
 
 
 
 
16.1. INTRODUÇÃO 
No capítulo 15, tomamos conhecimento dos períodos e dos gráficos das 
funções f(x) = sen x, f(x) = cos x, f(x) = tg x etc. No entanto, é muito comum 
surgirem, em problemas (como, por exemplo, no estudo da Ondulatória, em 
Física), funções trigonométricas que ou sofreram transformações em relação às 
originais ou são a soma ou o produto daquelas; por exemplo, as funções definidas 
por f(x) = sen 2x, f(x) = cos2x, f(x) = a·sen (t + ), f(x) = sen x + cos x. 
Vamos, no presente capítulo, estudar algumas regras para o cálculo dos 
períodos e para a construção dos gráficos de algumas dessas funções. 
 
 
16.2.CÁLCULO DO PERÍODO DE FUNÇÕES DA FORMA 
y = m + n·f(ax + b) 
 
Sejam m, n, a e b constantes reais, com a · n  0. Nessas condições, 
enunciamos o seguinte teorema: 
 
Se uma função f, definida por y = f(x), é periódica, de período p, então a 
função definida por g(x) = m + n·f(ax + b) é periódica e seu período é 
 PP
| a |
 
 
 
Por exemplo, f(x) = cos x é uma função periódica, de período p = 2; então, 
a função definida por g(x) = 5 + 3cos 2x
4
    é periódica e seu período é 
p 2P
| a | | 2 |
    
Deve-se notar, com muita atenção, que dos coeficientes m = 5, n = 3, a = 2 
e b = 
4
 , o único a influir no período é a = 2, isto é, o coeficiente de x. 
 
266 
Demonstração do Teorema 
 
Devemos provar (ver15.7) que existe um real T, tal que g(x) = g(x + T), isto 
é m + n· f(ax + b) = m + n·f[a(x + T) + b]. 
 
Assim: 
se y = f(x) tem período p, temos que 
f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = f(x + 3p) = . . , isto é, para 
k  , f(x) = f(x + k·p) 
Multiplicando essa igualdade por n (n  0) e somando em seguida m, 
vem: 
m + n·f(x)= m + n·f(x + k·p) 
Fazendo agora a substituição de x por ax + b (a  0), obtemos: 
m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + kp) 
que podemos escrever 
m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + a kp
a
 ) 
ou ainda 
m + n·f(ax + b) = m + n·f[a(x kp
a
 ) + b] 
 
Considerando kp T
a
 temos 
g(x) g(x T)
m n f(ax b) m n f[a(x T) b]

         
 
logo, como existe o real kpT
a
 para o qual g(x) = g(x + T), a função g é 
periódica. 
Como, por definição, período é o menor T positivo, obtemos, fazendo k = 1, o 
período de g 
pP
| a |
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
16.1) Calcule o período da função f(x) = sen x
3
. 
Solução 
Como a função sen x tem período p = 2, então 
p 2P 6
| a | 1
3
    
 
267 
16.2) Calcule o período de função 
  2xf x 3 tg 3 4      
Solução 
Como a função tg x tem período p = , então 
p 3P
2a 2
3
    
 
16.3) Calcule o período da função f(x) = 4 – 3sec  x . 
 
Solução 
Como a função sec x tem período p = 2, então 
p 2P 2
a
   
 
16.4) Calcule o período da função f(x) = sen2x. 
 
Solução 
Devemos, inicialmente, escrever a função na forma y = m + n·f(ax + b). Para 
isso, vamos lembrar a fórmula de arco dobro 
cos 2x = 1 – 2sen2x 
de onde tiramos 2 1 cos2xsen x
2
 
isto é, que 
  1 1f x cos2x2 2  
Como a função cos x tem período p = 2, então 
p 2P
a 2
    
 
 
 
16.3. CÁLCULO DO PERÍODO DE SOMAS E PRODUTOS DE DUAS FUNÇÕES 
PERIÓDICAS 
Sejam f e g duas funções periódicas, definidas por y = f(x) e y = g(x), cujos 
períodos são, respectivamente, p1 e p2 com p1  p2. Enunciamos, então,o seguinte 
teorema: 
 
Se 1
2
p m
p n
 , onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as 
funções definidas por  = f + g e  = f·g são periódicas e seu período é 
P = np1 = mp2 
 
268 
Por exemplo,    x xf x sen e g x tg2 3  são funções periódicas, cujos 
períodos são 1 2
2p 4 e p 31 1
2 3
       . 
Estabelecendo a razão entre p1 e p2, obtemos 
1
2
p 4
p 3
 
Assim, o período das funções 
   
1 2
x x x xx sen tg e x sen tg
2 3 2 3
P 3p 4p ; logo P 12
     
   
 
 
Demonstrativo do teorema 
Devemos provar que existe um real T, tal que 
       
               
x x T e x x T
isto é,
f x g x f x T g x T e f x g x f x T g x T
       
         
 
Assim: 
se f e g tem períodos p1 e p2, respectivamente, podemos escrever que 
f(x) = f(x + knp1) (I) 
e 
g(x) = g(x + kmp2) (II) 
onde para k   tem-se também (kn)  e (km) . 
Efetuando as operações (I) + (II) e (I) · (II), 
vem (III) : f(x) + g(x) = f(x + knp1) + g(x + kmp2) 
e 
(IV) : f(x) · g(x) = f(x + knp1) · g(x + kmp2) 
Como 1
2
p m
p n
 , então np1 = mp2. Fazendo 
1 2knp kmp T  , as igualdades (III) e (IV) são escritas 
   
 
   
 
   
 
   
 
x x T
x x T
f x g x f x T g x T
e
f x g x f x T g x T
  
  
    
    
 
 
 
logo, como existe o real T = knp1 = kmp2 para o qual 
       x x T e x x T        , as funções e  são periódicas. 
Como, por definição, período é o menor T positivo, fazendo k = 1, obtemos o 
período de e  : 
P = np1 = mp2 
 
269 
Deve-se notar que esse teorema é aplicável, não só a funções da forma 
f + g e f · g, mas, também, às funções  ff g e g 0g  . 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
16.5) Calcule o período da função 
 (x) = tg 3x + cos 4x 
 
Solução 
Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = tg 3x e 
g(x) = cos 4x; assim: 
1 2
2p e p
3 4 2
     
Estabelecemos, agora a razão entre p1 e p2, encontrando 
1
2
p 2
p 3
 
Temos, então, que P = 3p1 = 2p2; logo, P =  
 
16.6) Calcule o período da função 
  xx sec sen 3x2   
 
Solução 
Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = sec
x
2
 e 
g(x) = sen 3x; assim: 
1 2
2 2p 4 e p1 3
2
     
Estabelecemos, agora, a razão entre P1 e P2 encontrando 
1
2
p 6
p 1
 
Temos, então, que P = 1·p1 = 6p2; logo, P = 4  
 
16.7) Calcule o período da função   cos 3xx cotg 8x  
Solução 
Sendo f(x) = cos 3x e g(x) = cotg 8x, vem 
1 2
2p e p
3 8
   
Assim, 1
2
p 16
p 3
 
Portanto, P = 3p1 = 16p2 = 2 
 
270 
16.8) Calcule o período da função   2x tg x  
 
Solução 
Sendo  x tg x tg x   , notamos que os períodos p1 e p2 são iguais 
(p1 = p2 = ). Não podemos, portanto, aplicar o teorema visto, a menos que 
consigamos mudar a forma da função (x). 
No caso, se lembrarmos a fórmula de arco dobro 
2
2 tgxtg 2x
1 tg x
  
e daí tirarmos 
2 2 tgxtg x 1
tg2x
  
poderemos aplicar o teorema; sendo f(x) = 2tg x e g(x) = tg 2x, temos 
1 2p e p 2
   
Assim, 1
2
p 2
p 1
 
Portanto, P = 1·p1 = 2p2 =  
 
16.9) Calcule o período da função (x) = sec x – sen x 
 
Solução 
Também aqui não podemos utilizar o teorema (16.3), pois p1 = p2 = 2. 
Vamos, então, transformar a função; assim: 
  1 sen x cos x1x sen xcos x cos x     
Lembrando que 2sen x·cos x = sen 2x, temos 
 
11 sen2x
2x
cos x

  
Agora,   1f x 1 2  sen 2x e g(x) = cos x, onde 
1
1 2
2
p2 1p e p 2 e
2 p 2
      
Portanto, P = 2p1 = 1·p2 = 2 
 
 
16.4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
De modo geral, a construção do gráfico de uma função f, definida por 
y = f(x), pode ser feita com o auxílio de uma tabela na qual são atribuidos alguns 
valores particulares a x e determinados os correspondentes valores de y. Foi o que 
fizemos para a obtenção dos gráficos das funções trigonométricas no capítulo 15. 
No entanto, conhecidos aqueles gráficos, com algumas regras de transformações 
no gráfico de uma função, podemos, facilmente, construir os gráficos de muitas 
outras funções. 
 
271 
Vamos enunciar algumas dessas regras. 
Seja G o gráfico da função definida por y f(x) e seja k  0 uma constante 
real. 
1ª) O gráfico G' da função y = f(x) + k pode ser obtido a partir de G, fazendo este 
sofrer uma translação de k unidades, na direção Oy, “para cima”, se k é 
positivo, ou “para baixo”, se k é negativo. 
 
 
 
2ª) O gráfico G' da função y = f(x + k) pode ser obtido a partir de G, fazendo este 
sofrer uma translação de k unidades, na direção Ox, “para a esquerda”, se k é 
positivo, ou “para a direita”, se k é negativo. 
 
 
 
3ª) O gráfico G' da função y = –f(x) pode ser obtido a partir de G, fazendo este 
sofrer uma reflexão em relação ao eixo Ox. 
 
 
 
272 
4ª) O gráfico G' da função y = |f(x)| pode ser obtido a partir de G, fazendo a “parte” 
que está abaixo do eixo Ox sofrer uma reflexão em relação a Ox. 
 
 
 
Vamos, agora, resolver alguns exercícios onde construiremos gráficos de 
funções trigonométricas que sofreram transformações. Nem sempre necessária, 
mas de grande utilidade, é a determinação prévia do período e do conjunto-
imagem. Para maior praticidade, propomos as seguintes etapas para a resolução 
dos problemas: 
 determinação do conjunto-imagem 
 cálculo doperíodo 
 identificação da função trigonométrica base 
 identificação das transformações sofridas pela função base 
 construção do gráfico 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
16.10) Construa o gráfico da função g(x) = 2 + sen x. 
 
SoIução 
Temos que I(g) = [1; 3] e p = 2 
A função base é f(x) = sen x. 
A função dada é da forma g(x) = f(x) + k, k = 2; 
utilizaremos, portanto, a primeira regra, transladando o gráfico de sen x duas 
unidades “para cima”. 
 
 
 
273 
16.11) Construa o gráfico da função  g x cos x 4     
Solução 
Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 2 
A função base é f(x) = cos x. 
A função dada é da forma    g x f x k , k 4    ; pela segunda regra, 
transladamos o gráfico de cos x “para a direita”, de uma distância igual a 
4
 
 
 
16.12) Construa o gráfico da função g(x) = sen 2x. 
 
Solução 
Temos que I(g) = [–1;1] e p = . 
A função base é f(x) = sen x. 
A função dada é da forma g(x) = f(kx), k = 2; note que, nas regras dadas, 
não consta esse tipo de transformação. No entanto, a construção do gráfico 
não tem maiores dificuldades se observarmos que, em primeiro lugar, o 
conjunto-imagem é o mesmo de sen x, isto é, a amplitude é a mesma e, 
em segundo lugar,o período de g(x) é a metade do período de f(x); 
podemos, intuitivamente, entender que, num intervalo de comprimento, 
sen 2x “faz” tudo o que sen x “faz” num intervalo de comprimento 2. 
Portanto, devemos obrigar o gráfico de sen x a “encolher” do intervalo 
[0; 2] para [0;]. 
Assim: 
 
 
16.13) Construa o gráfico da função   xg x cos 2 
 
Solução 
Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 4 
 
274 
A função base é f(x) = cos x 
A função dada é da forma g(x) = f(kx), k = 1
2
; a exemplo do exercício 
anterior, note que o conjunto-imagem não se altera e que o período de g(x) 
é o dobro do período de f(x). Entendemos, intuitivamente, que cos x
2
 “faz”, 
num intervalo de comprimento 4, exatamente o mesmo que cos x “faz” num 
intervalo de comprimento 2. Vamos, então, “esticar” o gráfico de cos x do 
intervalo [0; 2] para [0; 4]. Assim: 
 
 
 
16.14) Construa o gráfico da função g(x) = 3sen x. 
 
Solução 
Temos que I(g) = [–3; 3] e p = 2. 
A função base é f(x) = sen x. 
A função dada é da forma g(x) = k·f(x), k = 3; note, também, que esse tipo 
de transformação não consta das regras dadas. Observe que o período de 
g(x) é o mesmo de f(x) e que o conjunto-imagem “mudou” de [–1; 1] para 
[–3; 3], isto é, que a amplitude se alterou. Devemos construir uma senóide 
que, em um intervalo como [0; 2], percorra todo o conjunto-imagem [–3; 3]. 
Assim: 
 
 
 
16.15) Construa o gráfico da função   1g x cos x2 
Solução 
Temos que  I 1 1g ; e p 22 2       
 
275 
A exemplo do que foi observado no exercício anterior, devemos construir 
uma cossenóide que, num intervalo como [0; 2], percorra o conjunto-
imagem 1 1;
2 2
    ; assim: 
 
 
16.16) Construa, para 0  x  2, o gráfico da função g(x) = –2 – sen x. 
 
Solução 
Temos que I(g) = [–3; –1] e p = 2 
A função base é f(x) = sen x 
A “evolução” da função base até a função dada foi 
(I) (II)sen senx 2 senx   
Sabemos que a transformação (I) (ver regra 3ª) provoca uma reflexão no 
gráfico de sen x em relação ao eixo Ox e que a transformação (II) (ver regra 
1ª) faz o gráfico de –sen x sofrer uma translação de duas unidades “para 
baixo”. Assim: 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
16.17) Calcule o período das seguintes funções: 
a) f(x) = sen 4x 
b)   xf x 2 cos 2  
c)  f x tg 3x 4     
 
276 
d)   2xf x 1 cotg 3      
e)   3xf x 1 3 sec 2   
f)    f x cossec 2 x  
g)   xf x tg 5     
h)    f x 5 4sen nx , n 0   
 
16.18) Calcule o período das seguintes funções: 
a) f(x) = cos2x 
b)   2 xf x sen 2 
c) f(x) = cos22x 
d)   2 3xf x sen 2 
 
16.19) Sabe-se que a função definida por f(x) = Asen (kx) tem período 6 e 
conjunto imagem [–4; 4]. Determine essa função. 
 
16.20) Seja k um real positivo. Determine a condição para que a função 
f(x) = tg (kx) tenha período racional. 
 
16.21) O conjunto-imagem da função f(x) = A + B·cos (Bx + A) é [–3; 7]. Determine 
o período dessa função. 
 
16.22) Calcule o período das seguintes funções: 
a)   xx sen cossec 3x3   
b)   5xx tg 2x sec 3   
c)   2xx cos 4x tg 3   
d)  
3xsen
8x 4xcos
5
  
 
16.23) Calcule o período das seguintes funções: 
a) f(x) = cos x + cossec x 
b) f(x) = sec 3x + sen 3x 
 
16.24) Calcule o período das seguintes funções: 
a) f(x) = sen 2x + cos 2x 
b) f(x) = sen3x 
 
277 
c)   3 xf x cos 2 
 
16.25) Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções: 
a) g(x) = 2 + cos x 
b) g(x) = –1 + sec x 
c)  g x sen x 4     
d)  g x tg x 4     
 
16.26) Construa os gráficos das seguintes funções: 
a)   xg x sen 2 
b) g(x) = cos 2x 
c) g(x) = –3cos x 
d)   1g x sen x2 
 
16.27) Construa o gráfico das funções e determine seus períodos: 
a) g(x) = |sen x| 
b) g(x) = –|cos x| 
 
16.28) Construa o gráfico da função g(x) = 1 + 3sen 2x 
 
16.29) Construa o gráfico da função g(x) = sen x + cos x 
 
287 
Exercícios Suplementares 
 
VI.1) Determine o domínio da função   22 tgxf x 1 tg x  . É o mesmo que da função 
g(x) = tg 2x? 
 
VI.2) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função  f x sen x 
 
VI.3) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função  f x 2cos x 1   
 
Vl.4) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = A + Bsen (2x), onde A e B 
são constantes reais, com B > 0. 
 
Vl.5) Determine A e B reais (B > 0) de modo que o conjunto-imagem da função 
f(x) = A + Bsec x seja 
I(f ) {y y 6 ou y 2}      
 
VI.6) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função f(x) = tg x + cotg x. 
 
Vl.7) Calcule o período da função f(x) = tg x + cotg x 
 
Vl.8) Calcule o período da função  f x sen 4x 4     
 
VI.9) Calcule o período da função  f x sen 4x 4     
 
VI.10) Calcule o período da função f(x) = sen 3x – cos 3x. Determine, também, seu 
conjunto-imagem. 
 
VI.11) A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f(x) num sistema cartesiano 
ortogonal, em que não está fixada a posição do eixo Oy e as abscissas são 
dadas em função de uma constante real a. Reconheça a função f(x) nos 
seguintes casos: 
 
 
 
a) a = 0 
b) a
2
 
c) a
2
  
d) a =  
	aa 01 a 09
	aa 30 a 33
	aa 66 a 70
	aa 78
	aa 84 a 85
	aa 92 a 93
	aa 119 a 121
	aa 128 a 131
	aa 136 a 138
	aa 147
	aa 166 a 169
	aa 182 a 197
	aa 260 a 277
	aa 287