Cálculo Numérico Aula 1

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1
Cálculo NuméricoCálculo Numérico
Resolução NuméricaResolução Numérica
de Equações – Parte Ide Equações – Parte I
Professor: Francisco Amaral
Jaciara – MT, 2020
 
2Cálculo Numérico – Motivação 
II
  é um zerozero da função f(x)f(x) ou raizraiz 
da equação f(x) = 0f(x) = 0 se f(f() = 0) = 0..
 Zeros podem ser reaisreais ou complexoscomplexos.
 Este módulo trata de zeros reaisreais de 
f(x)f(x)..
Zeros reais 
representados
sobre o eixo das 
abscissas
Zeros reais 
representados
sobre o eixo das 
abscissas
Eixo das 
abscissas
Eixo das 
abscissas
1 2
f(x)
x
E
ix
o
 d
a
s
 
o
rd
e
n
a
d
a
s
E
ix
o
 d
a
s
 
o
rd
e
n
a
d
a
s
 
3
Cálculo Numérico – Motivação I
Necessidade de 
resolução de equações 
do tipo f(x) = 0
Principio da Principio da 
ConservaçãoConservação
 MomentoMomento
 EnergiaEnergia
 MassaMassa
Principio da Principio da 
ConservaçãoConservação
 MomentoMomento
 EnergiaEnergia
 MassaMassa
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó 
:
 FH = 0
 FV = 0
FEstruturas
(Lei de 
Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)
+
-
E - Ri – g(i) = 0
Circuitos
ReatoresE1
E2 S
E S
Em um dado intervalo:
massa = entradas - 
saídas
 
4
 Determinação das raízes em função 
de aa, bb e cc
Cálculo Numérico – Motivação 
III
ax2 + bx + c = 0
 Polinômios de grau mais elevado e 
funções com maior grau de 
complexidade
 Impossibilidade de determinação 
exata dos zeros
x = -b ±  b2 – 4ac
 2a
 A partir de uma equação de 2º grau 
da forma
 
5Cálculo Numérico – Motivação 
IV
 Princípio Básico dos Métodos 
Numéricos
VALORVALOR
INICIALINICIAL
VALORVALOR
INICIALINICIAL
APRIMORAMENTAPRIMORAMENT
OO
DOS VALORESDOS VALORES
APRIMORAMENTAPRIMORAMENT
OO
DOS VALORESDOS VALORES
MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS
MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO
DOS ERROSDOS ERROS
MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO
DOS ERROSDOS ERROS
VALOR VALOR 
ACEITÁVELACEITÁVEL
DE RAIZDE RAIZ
VALOR VALOR 
ACEITÁVELACEITÁVEL
DE RAIZDE RAIZ
 
6Cálculo Numérico – Motivação 
V
 Etapas Usuais para a Determinação 
de Raízes a partir de Métodos 
Numéricos
FASE I
Isolamento 
das raízes 
FASE I
Isolamento 
das raízes 
Determinação de 
um intervalo (o 
menor possível) que 
contenha apenas 
uma raiz
Determinação de 
um intervalo (o 
menor possível) que 
contenha apenas 
uma raiz
FASE II
Refinamento 
das raízes
FASE II
Refinamento 
das raízes
Melhoramento do 
valor da raiz 
aproximada 
(refinamento até a 
precisão desejada).
Melhoramento do 
valor da raiz 
aproximada 
(refinamento até a 
precisão desejada).
MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS
 
7Cálculo Numérico – Motivação 
VI
 FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES
 Realização de uma análise teórica e 
gráfica da função de interesse
 Precisão das análises é relevante 
para o sucesso da fase posterior
 
8Cálculo Numérico – Motivação 
VII
 TEOREMA 1:
Sendo f(x)f(x) contínua em um intervalo [a, [a, 
b]b], se f(a)f(b) < 0f(a)f(b) < 0 então existe pelo 
menos um ponto xx = =  entre aa e bb que 
é zerozero de f(x)f(x).
 
9Cálculo Numérico – Motivação 
VIII
 ANÁLISE GRÁFICA:
11 22
f(x)
x
33
aa bb
 bb
f(x)
x
aa
aa
11
f(x)
x22
bb
 
10
Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3 
Cálculo Numérico – Motivação 
IX
 f(x)f(x) é contínua para x x RR.
 II11 = [ = [-5-5,, -3 -3]]
 II22 = [ = [00,, 1 1]]
 II33 = = [ [22,, 3 3]]
Cada um dos Cada um dos 
intervalos contém pintervalos contém peloelo 
menosmenos um um zerozero ..
Cada um dos Cada um dos 
intervalos contém pintervalos contém peloelo 
menosmenos um um zerozero ..
++++++––––++++++––––––––f(x)
543210-1-3-5-
10
-100-x
 
11
 f(x)f(x) admite pelo menos um zerozero no o 
intervalo [intervalo [11,, 2 2] ] O O zerozero é únicoúnico? ? 
Cálculo Numérico – Motivação 
X
Análise do sinal de Análise do sinal de 
f’(x)f’(x) 
......++++––––f(x)
...3210x
 f’(x) =1/(2f’(x) =1/(2x )+ 5ex )+ 5e-x-x > 0 > 0,, x > 0x > 0
f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu 
domínio de definição, localizado no 
intervalo [1, 2][1, 2] . .
f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu 
domínio de definição, localizado no 
intervalo [1, 2][1, 2] . .
Exemplo 02: f(x) = f(x) =  x – 5e x – 5e-x-x
 
12Cálculo Numérico – Motivação 
XI
 OBSERVAÇÃO:
Se f(a)f(b) > 0f(a)f(b) > 0, então se pode ter 
diversas situações no intervalo [a,[a, b]b].
b
f(x)
xa
f(x) a 
f(x)
xb
11 22
xa b
 
13Cálculo Numérico – Motivação 
XII
Construção dos gráficos de g(x) g(x) 
e h(x) h(x) no mesmo sistema 
cartesiano
Construção dos gráficos de g(x) g(x) 
e h(x) h(x) no mesmo sistema 
cartesiano
Localização dos pontos x x nos 
 quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se 
interceptam
(f(f() = 0 ) = 0  g(g() = h() = h() ) ) 
Localização dos pontos x x nos 
 quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se 
interceptam
(f(f() = 0 ) = 0  g(g() = h() = h() ) ) 
Localização das abscissas dos 
pontos nos quais a curva 
intercepta o eixo oxox
Localização das abscissas dos 
pontos nos quais a curva 
intercepta o eixo oxox
Construção do gráfico de f(x)f(x)Construção do gráfico de f(x)f(x)
I
Obtenção da equação equivalente 
g(x) = h(x) g(x) = h(x) a partir da equação 
f(x) = 0f(x) = 0
Obtenção da equação equivalente 
g(x) = h(x) g(x) = h(x) a partir da equação 
f(x) = 0f(x) = 0
II
Uso de programas para traçado de 
gráficos de funções
Uso de programas para traçado de 
gráficos de funções
III
ANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICA
 
14
 Estudo Detalhado do Comportamento 
de uma Função a partir de seu Gráfico
 Domínio da funçãoDomínio da função
 Pontos de descontinuidadePontos de descontinuidade
 Intervalos de crescimento e Intervalos de crescimento e 
decrescimentodecrescimento
 Pontos de máximo e mínimoPontos de máximo e mínimo
 ConcavidadeConcavidade
 Pontos de inflexãoPontos de inflexão
 Assíntotas da funçãoAssíntotas da função
(Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)
Cálculo Numérico – Motivação 
XIII
 
15
Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3
 (Uso do método II )
Cálculo Numérico – Motivação 
XIV
 11 [-4, -3][-4, -3]
 22 [0, 1][0, 1]
 33 [2, 3][2, 3]
 f’(x) = 3xf’(x) = 3x22 - 9 - 9
 f’(x) = 0 <=> x = f’(x) = 0 <=> x = 3 3 
33
-72
-7,3923 3
-51
30
11-1
13,3923-  3
3-3
-25-4
f(x)x
3
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
21
 
16
 MATLAB: ezplot('x^3-9*x+3',[-4,4])ezplot('x^3-9*x+3',[-4,4])
Cálculo Numérico – Motivação 
XV
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-20
-10
0
10
20
30
x
x^3-9*x+3
 
17Cálculo Numérico – Motivação 
XVI
 11  ( (-4-4,, -3 -3))
  22  ( (00,, 1 1))
  33  ( (22,, 3 3))
 g(x) = xg(x) = x33
 h(x) = 9x -3 h(x) = 9x -3 
Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3
 (Uso do método IIII )
3
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 42
1
h(x)
y
 
18
 MATLAB: ezplot('9*x-3',[-4,4])ezplot('9*x-3',[-4,4])
Cálculo Numérico – Motivação 
XVII
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
x
9*x-3
 
19Cálculo Numérico – Motivação 
XVIII
  [1, [1, 
2]2]

g(x
)
x1 2 3 4
h(x
)
y
5 6
Exemplo 04: f(x)=f(x)= x – 5ex – 5e-x -x 
 ( Uso do Método IIII )
 x – 5ex – 5e-x -x = 0 <=> = 0 <=> x = x = 
5e5e-x -x 
 g(x) = g(x) = x x 
 h(x) = 5eh(x) = 5e-x-x
 
20
 MATLAB: ezplot('5*exp(- x)',[0,5])ezplot('5*exp(- x)',[0,5])
Cálculo Numérico – Motivação 
XIX
0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x
5*exp(-x)
 
21
 xlog(x) – 1xlog(x) – 1 = 0 = 0 log(x) = 1/log(x) = 1/
xx 
 g(x) = log(x) g(x) = log(x) 
 h(x) = 1/xh(x) = 1/x
Exemplo 05: f(x) = x logx – 1f(x) = x logx – 1
Cálculo Numérico – Motivação 
XX
 [2, 3][2, 3]

g(x)
x1 2 3 4
h(x)
y
5 6
 
22
 Estudar métodos numéricos para a 
resolução de equações não lineares 
(determinar a(s) raiz(es) de uma função f(x)f(x), 
ou seja, encontrar o(s) valor(es) de xx talque 
f(x) = 0f(x) = 0)
 Fundamentar a necessidade de uso de 
métodos numéricos para a resolução de 
equações não lineares
 Discutir o princípio básico que rege os 
métodos numéricos para a resolução de 
equações não lineares
 Apresentar uma série de métodos destinados 
à resolução de equações não lineares
Cálculo Numérico – Objetivos
 
23
 MATLAB: ezplot('1/x',[0,5])ezplot('1/x',[0,5])
0 1 2 3 4 5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
1/x
Cálculo Numérico – Motivação 
XXI
 
24Cálculo Numérico – Motivação 
XXII
 FASE II: REFINAMENTO
 Aplicação de métodos numéricos 
destinados ao refinamento de raízes
 Diferenciação dos métodos  Modo 
de refinamento
 Método IterativoIterativo  Caracterizado 
por uma série de instruções 
executáveis seqüencialmente, 
algumas das quais repetidas em ciclos 
(iteraçõesiterações)
 
25Cálculo Numérico – Motivação 
XXIII
CRITÉRIOS DE PARADA
 Teste: xxkk suficientemente próximo da 
raiz exata?
 Como verificar tal questionamento?
 Interpretações para raiz aproximada
 xx é raiz aproximada com precisão  
se:
i.i. |x - |x -  | < | < 
 ou
ii.ii. |f( x )| < |f( x )| < 
Como proceder 
se não se 
conhece  ?
Como proceder 
se não se 
conhece  ?
 
26Cálculo Numérico – Motivação 
XXIV
 Redução do intervalo que contém a 
raiz a cada iteração
 Obtenção de um intervalo [a,b][a,b] tal 
que:
   [a,b][a,b]
e
 b – a < b – a < 
||xx - -  || < <  , ,  xx  [[aa,,bb]]
x x  [a,b][a,b] pode 
ser tomado como 
xx
x x  [a,b][a,b] pode 
ser tomado como 
xx
 b
f(x
)
x
a
b – a < b – a < 
 
27Cálculo Numérico – Motivação 
XXV
Nem sempre é 
possível 
satisfazer ambos 
os critérios
Nem sempre é 
possível 
satisfazer ambos 
os critérios
|f(|f( xx )| < )| < |f(|f( xx )| < )| < 
||xx - -  | < | < ||xx - -  | < | < 
Métodos numéricos são 
desenvolvidos de modo a 
satisfazer ppeloelo menosmenos um 
dos critérios
Métodos numéricos são 
desenvolvidos de modo a 
satisfazer ppeloelo menosmenos um 
dos critérios
 
28Cálculo Numérico – Motivação 
XXVI
PROGRAMAS PROGRAMAS 
COMPUTACIONAICOMPUTACIONAI
SS
PROGRAMAS PROGRAMAS 
COMPUTACIONAICOMPUTACIONAI
SS
Teste de Teste de 
ParadaParada
Teste de Teste de 
ParadaParada
Estipulação do Estipulação do 
número máximo de número máximo de 
iteraçõesiterações
Estipulação do Estipulação do 
número máximo de número máximo de 
iteraçõesiterações
Prevenção contra loopingsloopings
 erros do programaerros do programa
 inadequação do método ao inadequação do método ao 
problemaproblema
Prevenção contra loopingsloopings
 erros do programaerros do programa
 inadequação do método ao inadequação do método ao 
problemaproblema
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