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Aula 7 - Interseção e Soma de subespaços vetoriais 15/09/2020 Definição 1. Dados dois subespaços U e V de um espaço vetorial W, chamamos de interseção de U e V o conjunto U∩V={w: w∈U e w∈V}. Proposição 1. U∩V é subespaço vetorial de W. Demonstração. OEU OEV O C Urv WEUm eu_ EU O w iw.eu eu w.eu weie w iwk.VN weUrv well de Nell dwell de IR well de IR dwell Logo Urv é subespaço vetorial Exemplo 1. (Interseção de subespaços do ℝ²) Exemplo 2. (Interseção de subespaços do ℝ³) u É viral É Exemplo 3. Sejam U espaço das matrizes simétricas de ordem 2x2 e V o espaço das matrizes anti-simétricas de ordem 2x2. Então U e V são subespaço vetoriais de M Encontre U∩V. Resolução. 2 2 me p m é sumétrica b C M é anti simétrica b C M é simétrica e anti simétrica b Logo Urv ao E ae me der Definição 2. Dados dois subespaços U e V de um espaço vetorial W, chamamos de soma de U e V o conjunto U+V={u+v: u∈U e v∈V}. Proposição 2. U+V é um subespaço vetorial de W que contém U e W. É o menor subespaço que contém U∪V. Além disso, U+V = span (U∪V). Demonstração. i 0eu pois U é subespaço vetorial deW Dev pois é subespaço vetorial deW 0 01 0 EU V ii w e UN w ÉTÉ WINN wi fi C U EV M TWz Us tVs 1 Uzi W Us 142 vs Vz Meu hey U VEU V Iii de IR WEU w U AW DU t du C Vtv Eu E Eu Exemplo 4. (Soma de subespaços do ℝ²) Exemplo 5. (Soma de subespaços do ℝ³) 2 y UN IR af v u U 7 V a U V U A U s Y UN p L x MUN _planoque contém Uev Proposição 3. Sejam U e V subespaços vetoriais de dimensão finita de um mesmo espaço vetorial W. Então dim(U+V) = dim(U) + dim(V) - dim(U∩V) Exemplo 6. Dados os subespaços U={(O,a,b,c): a∈ℝ, b∈ℝ e c∈ℝ} V={(p,q,p,r): p∈ℝ, q∈ℝ e r∈ℝ} Encontre uma base de U, V, U+V e U∩V. Resolução. (O,a,b,c)=(O,a,O,O)+(O,O,b,O)+(O,O,O,c) =a(O,1,O,O)+b(O,O,1,O)+c(O,O,O,1) Logo, {(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} gera U, isto é, U=span {(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} Além disso, já foi mostrado que {(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} é l.i. Conclusão: {(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} é base de U. P g p r Lp op a lo G o Pt 0,0 O t p 4,0 1,0 g 91,99 r lo 991 V span 4,0 1,0 lo 1,0 o 10,991 Afirmação 4,919,191,0 a Lao oi é li G 1,0 1,0 t G 91,0 o tt Cs 0,90 1 0,0 0 Él a a Conclusão 4,919,191,019,19991 é base do V Afirmação loira 10,919,19994114 É base de Vtv Déli 910,110,0 G 991,9 4.190,91 411,914 0,00,0 É G ci G cyO.CZCy O o U∩V={(O,a,O,c): a∈ℝ, b∈ℝ e c∈ℝ} Iii B gera U V 0 a b c P g p r a 0,1 0,0 b 0,0 I D t C fo O O 1 1 p 11,91 a tq.COho a r 0,99 ata lo 10,9 b 0,91 a ar lo 0,0D pipo 1,9 logo B gera U V Exercício B 191,99 10,9913 é base de Urv a Ç O 1 Cz U O C 1 e D ésolução não trivial Logo 1quis é l.cl b Ç U Cz U G Vi O 4 1 la 1 D ésoluçãonão trivial Logo Lu v vs él d C cp.U icz.v C3 LU V 0 cites v G V O 4 1 p C p é solução não trivial Logo LU v u VI é 1 d d 14h G U Cz V CzW 11 fEl matrizquadrada 3 3 Det m o o sistema lineartemváriassoluções Logo existesolução não trivial Portanto Iv v w é l d aµ a fita.fi E EI HEHp M Det m 1 0 A única solução é q cão o Logo o conjunto é l i Outra resolução E iii p 3 1 III C Cs O Gps tlzpz O.GRx tCrpz x o_O tu 4 in G são_a D FX Cp X t c 3 C ze O f M É cima C rt 3Cz O Logo fr epa são he