5_Metodos_Iterativos_Sistemas_Lineares_(lista_de_exercicios)

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ICT - UNIFESP - São José dos Campos
Cálculo Numérico Segundo Semestre de 2020
Turmas IA e IB Prof. Thadeu Senne
Lista de Exerćıcios 5 - Métodos Iterativos para Sistemas Lineares
1. Seja o sistema linear 
x1 + x2 + 2x3 + 7x4 = −5
5x1 + x2 + x3 + x4 = 4
x1 − 6x2 + x3 + x4 = 7
x1 + x2 + 8x3 + x4 = 7
.
(a) Podemos garantir que as sequências geradas pelos métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel
convergirão para a solução do sistema? Justifique.
(b) Reordene as equações desse sistemas de modo que a convergência das sequências geradas pelos
métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel seja assegurada.
(c) Aplique os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel para encontrar uma solução aproximada
para o sistema linear obtido no item (b), tomando x(0) = [0 − 1 0 1]T e uma tolerância ε = 0.1 .
2. Considere o sistema linear {
2x1 + 5x2 = −3
3x1 + x2 = 2
.
(a) Aplique o método de Gauss-Seidel para resolver esse sistema, tomando x(0) = [0 0]T , tolerância
ε = 0.01 e um número máximo de iterações igual a 4.
(b) Repita o item (a) permutando as equações do sistema linear e compare os resultados. O que
podemos concluir?
3. Considere o sistema linear 
10x1 + x2 − x3 = 10
2x1 + 10x2 + 6x3 = 20
7x1 + x2 + 10x3 = 30
.
(a) É posśıvel dizer que as sequências geradas pelos métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel
convergirão para a solução deste sistema linear?
(b) Resolva o sistema em questão utilizando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel
partindo de x(0) = [1 0 − 1]T e adotando uma tolerância ε = 0.05 .
4. Sejam
A =
 β 1 −11 2β − 1 1
−1 1 −β
 e b =
 37
−3
 .
(a) Determine os valores de β para os quais os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e de Gauss-
Seidel geram uma sequência convergente para a solução de Ax = b, independentemente do ponto
inicial x(0).
(b) Para β = 3 e usando o vetor b dado acima, encontre as fórmulas de iteração dos métodos de
Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel.