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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2ª CHAMADA CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSORA ROGÉRIO ROSA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 E D Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais questões Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais questões A ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 5 QUESTÕES. 3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ ALTERNATIVA CORRETA. 4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO DOCENTE. 7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA AVALIAÇÃO. CÁLCULO INTEGRAL Rogério Rosa 1) Utilizando a Regra da Cadeia derive : a) b) c) d) e) 2) Determina a Integral Indefinida de : a) b) c) d) e) 3) Derive : (Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais questões) a) b) c) d) e) 4) Calcule a Integral Definida : (Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais questões) a) b) c) d) e) 5) Derive : a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO DO PROFESSOR QUESTÃO 01: 2 2 2 2 1 1 x x x x f x Ln e f x e e e 2xe .2 2x x 2f x x Resposta 2x, alternativa “e” QUESTÃO 02: 3 2 2 3 2 x x x x dx C Resposta 3 2 3 2 x x C , alternativa “d” QUESTÃO 03: 5 3f x x x 5 3 1/2 4 211 11 5 3 5 322 2 5 3 1 1 1 5 3 . . 2 2 2 2 A f x x x A A x x f x A A A x x x x x x Resposta 4 2 5 3 5 3 2 x x x x , não há opção de resposta. QUESTÃO 04: 3 3 4 2 4 2 4 2 3 2 2 3 3 2 2 75 4 2 4 2 4 2 4 x x x x dx Resposta 75 4 , não há opção de resposta. QUESTÃO 05: 2 2 . 2 x x f x f x Ln Resposta 2 . 2x Ln , alternativa “a” AVALIAÇÃO PRESENCIAL PROVA FINAL GABARITO CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSORA ROGÉRIO ROSA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 D A C Questão Anulada. Pontos redistribuídos nas demais questões. E ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 5 QUESTÕES. 3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ ALTERNATIVA CORRETA. 4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO DOCENTE. 7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA AVALIAÇÃO. CÁLCULO INTEGRAL Rogério Rosa 1) Utilizando a Regra da Cadeia derive : a) b) c) d) e) 2) Aplique a regra de L’Hospital para calcular a) b) c) d) e) 3) Determine a integral indefinida a) b) c) d) e) 4) Calcule a Integral Definida : a) b) c) d) e) 5) Derive : a) b) c) d) e) GABARITO DESTACÁVEL Prezado(a) aluno(a), Disponibilizamos esta folha para que você anote o gabarito da avaliação, destaque e leve com você apenas esta folha, para conferir as respostas no Ambiente Virtual de Aprendizagem. AVALIAÇÃO PRESENCIAL CURSO DISCIPLINA PROFESSORA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO DESTACÁVEL 1 2 3 4 5 AVALIAÇÃO PRESENCIAL AVALIAÇÃO 4 GABARITO CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR BRAULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA 27/06/2015 ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 A E B D C ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ ALTERNATIVA CORRETA. 4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO DOCENTE. 7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA AVALIAÇÃO. NOME DA DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL Professor(a) BRÁULIO ANCHIETA 1- Utilizando a regra de L’Hospital é possível calcula o limite o seguinte limite: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+ 𝒙. 𝒆 𝟏 𝒙 a) +∞ b) 1 c) −∞ d) 𝒆𝟐 e) zero 2- Seja 𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑹, a função dada implicitamente pela equação 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝒙. Determine a equação da derivada 𝒅𝒚 𝒅𝒙 . a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥−1 3𝑦+1 b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥+4 𝑦3 c) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑦2 − 𝑥 d) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 5 3𝑥+𝑦 e) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 3𝑦2+1 3- Determine a função que representa a integral 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐.𝒅𝒙 a) 𝐹 𝑥 = 2𝑥 − 2 + 𝑘 b) 𝐹 𝑥 = (𝑥2−2)3 3 + 𝑘 c) 𝐹 𝑥 = 𝑥−2 3 2 + 𝑘 d) 𝐹 𝑥 = (2𝑥−1)3 5 + 𝑘 e) 𝐹 𝑥 = 3 (𝑥 − 2) + 𝑘 4- Determine a função que representa a integral 𝑭 𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 a) 𝐹 𝑥 = − 1 2 𝑒2𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑘 b) 𝐹 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒2𝑥 + 𝑘 c) 𝐹 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑒 + 𝑘 d) 𝐹 𝑥 = 1 2 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑘 e) 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 3𝑥2 + 𝑘 5- Calcule a área do conjunto de todos os pontos (𝒙,𝒚) tais que 𝒙𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙 a) 2 b) 3 4 c) 𝟏 𝟑 d) 1 e) 2 5 GABARITO 1-A 2-E 3-B 4-D 5-C AVALIAÇÃO PRESENCIAL SEGUNDA CHAMADA – 1.B GABARITO CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR BRÁULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA 25/07/2015 ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 A C A B A ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ ALTERNATIVA CORRETA. 4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO DOCENTE. 7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA AVALIAÇÃO. Cálculo Integral Professor: Bráulio Anchieta 1. Determine o valor do limite 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝐥𝐧 𝒙 𝒙²−𝒙 A) 1 B) 2 C) −∞ D) ∞ E) −2 Aplicandoa regra de L´Hospital, faremos: lim 𝑥→1 ln 𝑥 𝑥²− 𝑥 = lim 𝑥→1 1 𝑥 2𝑥 − 1 = lim 𝑥→1 1 𝑥(2𝑥 − 1) = 1 2. Determine o valor da integral indefinida 𝐱 𝐥𝐧 𝐱𝐝𝐱 A) 1 2 𝑥𝑙𝑛𝑥 + 1 4 𝑥2 + 𝐶 B) 1 4 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶 C) 𝟏 𝟐 𝒙𝟐𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 𝟒 𝒙𝟐 + 𝑪 D) 1 4 𝑥2 2 ln 𝑥² − 1 + 𝐶 E) − 1 2 𝑥2𝑙𝑛𝑥 − 1 4 𝑥 + 𝐶 Solução: Aplicando a integração por partes faremos: 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 = 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 x2 , 𝐸𝑛𝑡ã𝑜… 𝑥𝑙𝑛𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 = 1 2 𝑥²𝑙𝑛𝑥 − 1 2 𝑥² 1 𝑥 = 1 2 𝑥²𝑙𝑛𝑥 − 1 2 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 𝑥²𝑙𝑛𝑥 − 1 4 𝑥² + 𝐶 3. Resolva a integral 𝐱²𝐞−𝟒𝐱³𝐝𝐱 A) − 𝐞−𝟒𝐱³ 𝟏𝟐 + 𝐂 B) 𝑒4𝑥³ 12 + 𝐶 C) − 𝑒−𝑥³ 2 + 𝐶 D) 𝑒−4𝑥² 12 + 𝐶 E) 𝑒𝑥³ 12 + 𝐶 Solução: Aplicando a seguinte substituição 𝑢 = −4𝑥3 𝑑𝑢 = −12𝑥2𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥 = − 𝑑𝑢 12 𝐱²𝐞−𝟒𝐱³𝒅𝒙 = 𝐞𝐮 − 𝑑𝑢 12 = − 1 12 𝑒𝑢 = − 1 12 𝑒𝑢 + 𝐶 = − 1 12 𝑒−4𝑥 3 + 𝐶 4. Calcule 𝐱𝐞𝟑𝐱𝐝𝐱 A) 𝑥𝑒3𝑥 3 + 𝑒3𝑥 9 + 𝐶 B) 𝒙𝒆𝟑𝒙 𝟑 − 𝒆𝟑𝒙 𝟗 + 𝑪 C) 𝑒3𝑥 3 − 𝑒𝑥 9 + 𝐶 D) 𝑥𝑒𝑥 3 + 𝑒3𝑥 9 + 𝐶 E) 𝑥𝑒3𝑥 9 + 𝑒3𝑥 3 + 𝐶 Solução: Aplicando a integração por partes faremos: 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 1 3 e3x , 𝐸𝑛𝑡ã𝑜… 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 = xe3x 3 − 𝑒3𝑥 3 𝑑𝑥 = xe3x 3 − 𝑒3𝑥 9 + 𝐶 5. Encontre 𝒅𝒚/𝒅𝒙 do polinômio 𝒙³ + 𝒚³ = 𝟖 por derivação implícita: A) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − 𝒙² 𝒚² B) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 8𝑥 C) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 8𝑦 𝑥 D) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥−𝑦 8 E) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 8 𝑥−𝑦 Solução: GRADUAÇÃO EAD GABARITO COMENTADO AV2 - 2015.2B - 19/12/2015 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) ANTÔNIO MATIAS TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A E B D C C A D E D ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 6 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 1. Utilizando a regra de L’Hospital é possível calcula o limite o seguinte limite: a) b) 1 c) d) e) 2. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da derivada . a) b) c) d) e) 3. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) 4. Determine a função que representa a integral 5. Calcule a área do conjunto de todos os pontos tais que a) b) c) d) e) 6. Utilizando a regra de L’Hospital é possível calcula o limite o seguinte limite: a) b) 1 c) d) e) 7. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da derivada . a) b) c) d) e) Página 3 de 6 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 8. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) 9. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) 10. Calcule a área do conjunto de todos os pontos tais que, , com a) b) c) d) e) GABARITO COMENTADO 1) Aplicando a regra de L’Hospital 2) Derivando 3) Aplicando a técnica de integração “por substituição de uma nova variável”: Substituindo essa nova variável na integral, temos: Assim, a solução da integral é dada por: 4) Página 4 de 6 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS Aplicando a técnica de integração “por partes”: (expressão por integração por parte) Definindo a variável Definindo a variável Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: (*) Ficamos com uma nova integral para ser resolvida , que também será aplicada técnica “por partes”: Definindo novamente a variável Definindo a variável Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: Agora podemos substituir esta solução na integral dada no problema (*), que resulta em: Passando a integral do lado direito para o outro lado, ficaremos com uma soma de duas integrais; Assim, termos a solução: 5) Se traçarmos um gráfico contendo as duas funções e , conforme figura seguinte, obteremos uma região que pode ser calculada por integração definida. Assim, temos: Página 5 de 6 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 6) Aplicando a regra de L’Hospital 7) Derivando 8) Aplicando a técnica de integração “por substituição de uma nova variável”: Substituindo essa nova variável na integral, temos: Assim, a solução da integral é dada por: 9) Como , podemos aplicando a técnica de integração “por partes”: (expressão por integração por parte) Definindo a variável Definindo a variável Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: Como Então: Ou Página 6 de 6 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS Podemos agora a integral do lado direito para o outro lado, ficaremos com uma soma de duas integrais; Assim, termos a solução: 10. A ÁREA ENTRE AS CURVAS Y= X e Y=X² no intervalo que foi dado, ou seja: x maior ou igual a zero e x menor ou igual a 2. Precisamos calcular esta área primeiro de zero até 1, ou seja, a integral de; x-x² que é igual a 1/2x² - 1/3x³ Substituindo pelos limites zero e 1 encontramos 1/6 Em seguida encontramos a área de 1 até 2, porém a integral agora é o contrário, ou seja, x²-x que é igual a 1/3x³- 1/2x² que substituindo pelos limites de 1 até 2 encontramos 5/6. ENTÃO SOMANDO AS DUAS PARTES, OU SEJA, AS ÁREAS ENCONTRADAS: 1/6 + 5/6=1 RESPOSTA 1 UNIDADE DE ÁREA, QUE ESTÁ NA LETRA “ D " GRADUAÇÃO EAD GABARITO SEGUNDA CHAMADA 09/01/2016 - 2015.2B CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) ANTONIO MATIAS TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E A D B D B ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabaritopresente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 3 CÁLCULO INTEGRAL Professor(a): ANTONIO MATIAS 1. Utilizando a Regra da Cadeia derive: : a) b) c) d) e) 2. Derive em função de : a) b) c) d) e) 3. Derive : a) b) c) d) e) 4. Determina a Integral Indefinida de : a) b) c) d) e) 5. Calcule a derivada da função : a) b) c) d) e) 6. Qual função representa o resultado da integral a) b) c) d) e) 7. Qual função representa o resultado da integral a) b) c) d) e) 8. Qual função representa o resultado da integral a) b) c) d) e) 9.Resolva o limite da função seguinte, aplicando a regra de L’Hospital: a) b) c) d) e) Página 3 de 3 CÁLCULO INTEGRAL Professor(a): ANTONIO MATIAS 10.Calcule o valor da área correspondente a região delimitada pelo conjunto de pontos formado por: e a) b) c) d) e) GRADUAÇÃO EAD GABARITO 30/01/2016 - 2015.2B - FINAL CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) ANTONIO MATIAS TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C E C B D A ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 4 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias 1. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da derivada . a) b) c) d) e) 2. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: a) b) c) d) e) 3. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: a) b) c) d) e) 4. Determine a função que representa a integral a) b) c) Página 3 de 4 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias d) e) 5. Qual das seguintes alternativas expressa a área delimitada pelas curvas e a) b) c) d) e) 6. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) 7. Determine a derivada da função dada da implicitamente na expressão: a) b) c) d) e) 8. Determine a função que representa a integral Página 4 de 4 Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): Antonio Matias a) b) c) d) e) 9. Calcule a derivada correspondente a expressão a) b) c) d) e) 10. Calcule a derivada correspondente a expressão a) b) c) d) e) GRADUAÇÃO EAD AV2 GABARITO 2016.1B – 11/06/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D A B E B A E A B ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 1. Considere a função xe x xf 2 ln . Determine fl (x). a) x x e x ln2 12 b) x x e x ln2 12 c) x x e x ln2 12 d) x x e x ln2 12 e) xe x ln.2 (1) xe x xf 2 ln , temos duas novas funções. A função logaritmo natural y = lnu e a função exponencial do número “e”, ou seja, y = eu Duas novas regras de derivação: ll u u yuy . 1 ln (u é função de x) lulu ueyey . (u é função de x) (2) Analisando a função xe x xf 2 ln )( Observamos que antes de derivar para logaritmo natural e para a exponencial, temos um Quociente 2v uvvu v u ll l (3) Então, derivando xe x xf 2 ln Inicialmente usando a regra do Quociente: x x exf e x x e x x e xf e exe xxf e e dx d xex dx d xf xl xx x l x xx l x xx l ln2 1 . ln2 1 ln2 1 2..ln. 1 .ln.ln 2 24 2 22 22 22 22 RESPOSTA: Letra A x x e x ln2 12 2. A derivada da função f (x) = x2 cos x – 2x sen x – 2cos x é igual a: a) 2xsen x + x2 cos x b) sen x – 2x2 cos x c) x2 cos x d) – x2 sen x e) 2x sen x + x2 sen x – 2 cos x (1) A função f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x pode ser derivada usando uma sequência de regras de derivação. f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x, é uma soma algébrica x dx d xsenx dx d xx dx d xf l cos22cos)( 2 (2) Vamos usar regras conhecidas anteriormente e mais duas importantes regras da derivação: Considere “u” sendo uma função de “x” senxyxyouusenuyuy xysenxyouuuysenuy lll lll cos.cos cos.cos (3) Continuando a nossa derivação )tan(2.2cos2 ).(cos222 ).(cos2cos2cos cos22cos 222 2 funçãopelateconssenxsenxx dx d produtoRxxsenxxsenx dx d produtoRsenxxxxsenxxxxxx dx d x dx d xsenx dx d xx dx d xf l Substituindo: senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 (Observandoos sinais das funções nos parênteses). senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 (Eliminando os termos semelhantes de sinais opostos) fl(x) = - x2 senx RESPOSTA: Letra D (- x2 sen x) 3. Considere a função )4()( tsentf com aproximação de 100 1 com = 3,14 e determine a derivada fl (1): a) – 12,56 b) 12,56 c) 6,28 d) – 6,28 e) 2,02 Página 3 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA Derivando a função f(t) = sen (4t - ), temos: 56,1214,3.441 44.14.3cos4.1.4cos)1( 4).4cos()( l l l f f ttf RESPOSTA: Letra A (– 12,56) 4. O Valor de 1 ln lim 1 x x x é: a) e b) 1 c) d) – 1 e) – (1) 1 ln lim 1 x x x = ? Procuramos resolver o limite normalmente substituindo pela tenência. ? 0 0 lim 11 1ln lim 11 xx , obtendo uma indeterminação. Sabemos que 0 0 e são as indeterminações que nos levam a regra de L’hôspital que pode ser usada e substituída: )Re""(limlim alaqualquer xg xf xg xf l l axax Então: 1 1 1 lim 1 ln lim 11 x x x xx Pois: 11 1 ln x dx d e x x dx d RESPOSTA: Letra B (1) 5. Determine a função correspondente a integral: dxxx 4 1 2 1 a) 4 5 2 3 4 5 2 3 xx b) 5 4 2 3 4 5 2 3 xx c) 52 5 1 3 1 xx d) 53 5 4 3 2 xx e) 4 5 2 3 5 4 3 2 xx (1) Podemos resolver a integral separando cada uma das funções e aplicar a propriedade de integrais para funções potência. 1, 1 1 ncomC n x dxx n n (2) dxxdxxdxxx 4 1 2 1 4 1 2 1 Aplicando a propriedade acima, temos: 4 5 2 3 1 4 1 1 2 1 4 5 2 31 4 11 2 1 xxxx (Invertendo as frações dos denominadores) Cxx 4 5 2 3 5 4 3 2 RESPOSTA: Letra E 6. Calcular integral e t dt 1 2 , sendo e 2,7182. a) 1 b) 2 c) e d) 2e e) Zero (1) e ce dt t dt t ou t dt 1 11 1 .2 1 .22 (2) A integral cx x e ln 1 1 Então: outdt t e e ,ln.2 1 .2 1 1 20.21.21ln2ln2ln2 1 ct e Lembre-se das propriedades: lne =1 e ln1 = 0 RESPOSTA: Letra B 7. Calcule: Integral definida nos limites de integração de “1” e “2”, de 232 2/. tdtttf a) 7/90 b) 7/9 c) 9/7 d) 9/10 e) 7/3 Página 4 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA (1) Integral com função composta. Vamos usar método de integração por substituição. 2 2 3 2 1 2 1 23 2 23 2 3 3 2 22 t du dt t dt du tu dt t t t dtt Substituindo: 90 7 90 103 9 1 30 1 213 1 223 1 )( 23 1 23 1 3 1 1 . 3 1 3 1 1 . 3 1 3 . 33 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 222 2 CálculodoTeoremaoaplicando t tu u duu du ut du u t l RESPOSTA: 7/90 (Letra A) 8. Calcule a integral abaixo usando o método de integração possível. xdxx ln. a) cx x ln 2 2 b) cx x 2ln 2 2 c) cx x 2ln 2 2 d) cx x ) 2 1 (ln 2 2 e) cx x ) 2 1 (ln 2 2 (1) Só há condições de resolver a integral por partes. Vejamos que o algoritmo pode ser: vdxuuvdxuv ll Para a função “u” encontramos a derivada “ul” Para a função “vl” encontramos a integral “v” (2) 2 1 ln ?lnu - uv =dx u v 2 ll x vxve x uxu xdxxvdx ll Substituindo no algoritmo acima: 22 1 ln 2 2 1 2 .lnln 2 . 1 2 .lnln 22 2 22 x x x xdx x xxdxx dx x x x xxdxx Pode ser: cx x oucxx x 2 1 ln 2 , 4 1 ln 2 2 2 2 RESPOSTA: Letra E 9. Calcular a área da curva f(x) = 1 – x2 e pelo eixo dos x. Em unidades próprias de áreas temos: a) 4/3 b) 2/3 c) 8/3 d) 3/2 e) 5/3 (1) A área limitada pela função f(x) = 1 – x2 e o eixo x pode ser calculada pela dxx 21 , desde x = - 1 até x = 1, pois, os pontos de interseção do eixo “x” com a função f(x) = 1 – x2 originam os limites de integração obtidos: 1 – x2 = 0 ou x2 = 1 com x = - 1 ou x = 1 3 4 3 2 3 2 3 1 1 3 1 1 3 1 11 3 1 1 3 1 33 1 1 1 1 3 2 x xdxx RESPOSTA: Letra A (4/3 ua) Página 5 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 10. Determine a área formada pela senóide y = sen(x) desde x = 0 até x = 2. Em unidades próprias de áreas encontramos: a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) Zero (1) O gráfico da senóide de 0º à 2 é: Observamos que a área de 0º a é igual a área de a 2, então basta fazer: 0 )(.2 dxxsen , pois, assim estaremos calculando a área desde 0º até 2. (2) Resolvendo a integral 0 )( dxxsen 21111 0coscos)cos()( 0 0 0 xdxxsen Como a área é: 0 42.2)(.2 xsen RESPOSTA: Letra B (4ua) 1 0 1 2 GRADUAÇÃO EAD SEGUNDA CHAMADA GABARITO 2016.1B – 18/06/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) BRÁULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A B B B A C A B ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA 1. Determine 2 1 0 lim x xe x x −− → . Encontramos: a) Zero b) 1 c) 2 1 d) – ∞ e) + ∞ SOLUÇÃO: (1) Substituindo pela tendência: ? 0 0 lim 0 01 lim 1 lim 02 0 020 ==−−=−− →→→ xx x x e x xe (Indeterminação de L’Hôspital) Derivando as funções numerador e denominador. ( ) ( ) xx dx d eexe dx d xx 2,,11 2 =−=−− ; temos: x e x xe x x x x 2 1 ln 1 lim 020 −=−− →→ , e substituindo pela tendência fica: 0 0 lim 0.2 1 lim 2 1 lim 0 0 0 →∞→→ =−=− xx x x e x e , surge novamente 0 0 . Portanto, novamente! Usamos L’Hôspital ( ) ( ) 221 ==− x dx d eee dx d xx , e substituindo: 2 1 2 1 lim 2 lim 2 lim 2 1 lim 0 0 000 ====− →→→− xx x x x x ee x e RESPOSTA: Letra C ( 2 1 ) 2. O conjunto de valores de x que anulam a derivada de y = x3ln(x)– 1, é: a) 32;ee b) − 32;1 e c) − 31;0 e d) [ ]e;1 e) 31;0 e SOLUÇÃO: (1) ( ) 1ln3 −= xxy , é uma equação formada por uma soma algébrica ( )( ) ( ) ( )( )xx dx d y dx d xx dx d y l ln1ln 33 =∴−= ( )( )xx dx d y l ln3= , é um produto de funções. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1ln3ln3 1 .ln.3 lnln. 222 32 33 +=+= += += xxyouxxxy x xxxy x dx d xxx dx d y ll l l (2) Observe que yl = x2 (3ln(x) +1) é uma incompleta do 2º grau em “x”. ( )( ) 01ln3.2 =+xx , duas raízes: X2 = 0 ∴ x = 0, e 3ln(x) + 1 = 0 ∴ 3ln(x) = – 1 ou 3ln(x) = – 1 ∴ ln(x) = – 3 1 Temos agora a função logarítmica do tipo: Lnx = k ∴ ek = x ou x = ek (loga b = k ∴ ak = b ou b = ak No caso log(x) = – 3 1 ∴ xe =− 3 1 Então as soluções são: x = 0 e x = 3 1− e RESPOSTA: Letra C ( 3 1 ;0 − e ) 3. Considere a função )4()( ππ −= tsentf com aproximação de 100 1 com ππππ = 3,14 e determine a derivada fl (1): a) – 12,56 b) 12,56 c) 6,28 d) – 6,28 e) 2,02 SOLUÇÃO: Derivando a função f(t) = sen (4πt - π), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 56,1214,3.441 44.14.3cos4.1.4cos)1( 4).4cos()( −=−=−= −=−==−= −= π πππππππ πππ l l l f f ttf RESPOSTA: Letra A (– 12,56) Página 3 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA 4. Seja a função y = x ex – 4 e-x uma função onde y = f (x). Determine fl (-1) com e = 2,7 para aproximação 1/10. O valor mais próximo encontrado é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 1 SOLUÇÃO: (1) xx exey −−= 4 , é uma soma algébrica. ( ) ( )xxl e dx d xe dx d y −−= 4 . (Produto de funções e constante por função) ( ) ( ) 8,107,2.44 441 1,4 1.4..1 11)1(11 =∴=∴= +−=∴+−+= −=++= −−+= −−−−−− − − lll ll xxxl xxxl yyey eeeyeeey xparaexeey eexey RESPOSTA: Letra B (Valor mais próximo 11) 5. Considere a função ( ) 2 1 − −= x x xf , determine fl (3): a) 1 b) – 1 c) 2 d) 13 e) – 12 SOLUÇÃO: (1) Duas regras de derivação de funções algébricas muito usuais são: lll uvvuyuvy +=∴= (Derivada do Produto) 2v uvvu y v u y ll l −=∴= (Derivado do Quociente) Obs.: Considere u e v funções de x. (2) A função dada 2 1 )( − −= x x xf é uma função Quociente. RESPOSTA: Letra B (-1) 6. Calcular integral ∫ e t dt 1 2 , sendo e ≅ 2,7182. a) 1 b) 2 c) e d) 2e e) Zero SOLUÇÃO: (1) ∫ ∫∫ = e ce dt t dt t ou t dt 1 11 1 .2 1 .22 (2) A integral cx x e +=∫ ln 1 1 Então: outdt t e e ,ln.2 1 .2 1 1 =∫ ] 20.21.21ln2ln2ln2 1 =−=−= ct e Lembre-se das propriedades: lne =1 e ln1 = 0 RESPOSTA: Letra B 7. Calcule: Integral definida nos limites de integração de “1” e “2”, de ( ) ( ) ( )232 2/. += tdtttf a) 7/90 b) 7/9 c) 9/7 d) 9/10 e) 7/3 SOLUÇÃO: (1) Integral com função composta. Vamos usar método de integração por substituição. Página 4 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA SUBSTITUINDO: RESPOSTA: 7/90 (Letra A) 8. ( )∫ + 1 0 3 , 1 dx e e x x é igual a: a) ( ) 2 1 1 1 + + − e b) – e + 2 c) ( ) 8 1 12 1 2 + + − e d) – 1 e) Zero SOLUÇÃO: (1) Façamos a mudança de variável: = = += x x x e du dx e dx du eu 1 Substituindo: RESPOSTA: Letra C 9. Calcular a área da curva f(x) = 1 – x2 e pelo eixo dos x. Em unidades próprias de áreas temos: a) 4/3 b) 2/3 c) 8/3 d) 3/2 e) 5/3 SOLUÇÃO: (1) A área limitada pela função f(x) = 1 – x2 e o eixo x pode ser calculada pela ( )∫ − dxx 21 , desde x = - 1 até x = 1, pois, os pontos de interseção do eixo “x” com a função f(x) = 1 – x2 originam os limites de integração obtidos: 1 – x2 = 0 ou x2 = 1 com x = - 1 ou x = 1 ( ) ( ) 3 4 3 2 3 2 3 1 1 3 1 1 3 1 11 3 1 1 3 1 331 1 1 1 3 2 =+= +−− −= −−−− −= −=− − −∫ x xdxx RESPOSTA: Letra A (4/3 ua) 10. Determine a área formada pela senóide y = sen(x) desde x = 0 até x = 2ππππ. Em unidades próprias de áreas encontramos: a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) Zero Página 5 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA SOLUÇÃO: (1) O gráfico da senóide de 0º à 2π é Observamos que a área de 0º a π é igual a área de π a 2π, então basta fazer: ∫ π 0 )(.2 dxxsen , pois, assim estaremos calculando a área desde 0º até 2π. (2) Resolvendo a integral ∫ π 0 )( dxxsen ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 21111 0coscos)cos()( 0 00 =+=−−−−= −−−= −=∫ π ππ xdxxsen Como a área é: ∫ == π 0 42.2)(.2 xsen RESPOSTA: Letra B (4ua) 1 0 1 π 2π GRADUAÇÃO EAD FINAL GABARITO 2016.1B – 09/07/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D D C A E A B ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 6 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 1. Considere a função )4()( ππ −= tsentf com aproximação de 100 1 com ππππ = 3,14 e determine a derivada fl (1). a) – 12,56 b) 12,56 c) 6,28 d) – 6,28 e) 2,02 SOLUÇÃO 1 Derivando a função f(t) = sen (4πt - π), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 56,1214,3.441 44.14.3cos4.1.4cos)1( 4).4cos()( −=−=−= −=−==−= −= π πππππππ πππ l l l f f ttf resposta: letra A (– 12,56) 2. O Valor de 1 ln lim 1 −→ x x x é: a) e b) 1 c) ∞ d) – 1 e) – ∞ SOLUÇÃO 2 (1) 1 ln lim 1 −→ x x x = ? Procuramos resolver o limite normalmente substituindo pela tenência. ? 0 0 lim 11 1ln lim 11 == − →→ xx , obtendo uma indeterminação. Sabemos que 0 0 e ∞ ∞ são as indeterminações que nos levam a regra de L’hôspital que pode ser usada e substituída: ( ) ( ) ( ) ( ) )Re""(limlim alaqualquerxg xf xg xf l l axax →→ = Então: ( ) 1 1 1 lim 1 ln lim 11 = = − →→ x x x xx Pois: ( ) ( ) 111ln =−= x dx d e x x dx d Resposta: letra B (1) 3. Determine 2 1 0 lim x xe x x −− → . Encontramos: a) Zero b) 1 c) 2 1 d) – ∞ e) + ∞ SOLUÇÃO 3 (1) Substituindo pela tendência: ? 0 0 lim 0 01 lim 1 lim 02 0 020 ==−−=−− →→→ xx x x e x xe (Indeterminação de L’Hôspital) Derivando as funções numerador e denominador. ( ) ( ) xx dx d eexe dx d xx 2,,11 2 =−=−− ; temos: x e x xe x x x x 2 1 ln 1 lim 020 −=−− →→ , e substituindo pela tendênciafica: 0 0 lim 0.2 1 lim 2 1 lim 0 0 0 →∞→→ =−=− xx x x e x e , surge novamente 0 0 . Portanto, novamente! Usamos L’Hôspital Página 3 de 6 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA ( ) ( ) 221 ==− x dx d eee dx d xx , e substituindo: 2 1 2 1 lim 2 lim 2 lim 2 1 lim 0 0 000 ====− →→→− xx x x x x ee x e Resposta: Letra C ( 2 1 ) 4. A derivada da função f (x) = x2 cos x – 2x sen x – 2cos x é igual a: a) 2xsen x + x2 cos x b) sen x – 2x2 cos x c) x2 cos x d) – x2 sen x e) 2x sen x + x2 sen x – 2 cos x SOLUÇÃO 4 (1) A função f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x pode ser derivada usando uma sequência de regras de derivação. f(x) = x2 cos x – 2x sen x – 2 cos x, é uma soma algébrica ( ) ( ) ( )x dx d xsenx dx d xx dx d xf l cos22cos)( 2 −−= (2) Vamos usar regras conhecidas anteriormente e mais duas importantes regras da derivação: Considere “u” sendo uma função de “x” senxyxyouusenuyuy xysenxyouuuysenuy lll lll −=∴=−=∴= =∴==∴= cos.cos cos.cos (3) Continuando a nossa derivação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −=−= += −=−+= −−= )tan(2.2cos2 ).(cos222 ).(cos2cos2cos cos22cos 222 2 funçãopelateconssenxsenxx dx d produtoRxxsenxxsenx dx d produtoRsenxxxxsenxxxxxx dx d x dx d xsenx dx d xx dx d xf l Substituindo: ( ) ( ) ( )senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 −−+−−= (Observando os sinais das funções nos parênteses). ( ) senxxxsenxsenxxxxxf l 2cos22cos2 2 +−−−= (Eliminando os termos semelhantes de sinais opostos) fl(x) = - x2 senx Resposta: Letra D (- x2 sen x) 5. Determine o valor da seguinte integral: dxxx∫− + 1 1 33 4 4 a) 2/5 b) 4/3 c) -3/4 d) 6/7 e) 15/21 SOLUÇÃO 5 (1) Usamos a propriedade da função potência para cada função da integral: 1, 1 1 −≠∈+ + =∫ + ncomRnparaC n x dxx n n (2) A integral ∫∫ −− += + 1 1 3 1 3 41 1 33 4 44 dxxxdxxx Página 4 de 6 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 1 1 3 43 7 1 1 3 4 3 7 1 1 3 4 3 7 1 1 3 4 3 7 1 1 13 113 4 1 1 3 1 3 4 3 7 3 3 7 3 4 3 .4 7 3 3 4 4 3 7 1 3 1 1 3 4 4 −− − − − ++ − + += +∴ + = ∴ + + + = += ∫ xxouxx xx xx x x x dxxx (3) Substituindo os limites de integração e aplicando o Teorema do cálculo ( ) ( ) ( ) 7 6 3 7 3 3 7 3 1.31. 7 3 1.31. 7 3 131 7 3 131 7 3 3 7 3 3 43 73 43 7 1 1 3 43 7 =−++= +−− += −+−− += += − xx Resposta: 7 6 (Letra D) 6. Considere a função f(x) = e2x, a integral indefinida dxe x∫ 22 é: a) 2x + c b) ex – 1 c) e2x +c d) e + c e) ex + c SOLUÇÃO 6 (1) Sabemos das propriedades ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ +== = +== ceee ouedxeEntão cedxeeee xxx xx xxxlx 222 22 2.2 ,2: Resposta: e2x + c (Letra C) 7. Calcule a integral indefinida de: dx2 12 )2x - 3x.(1 a) ( ) cx +−− 23221 2 1 b) ( ) cx +− 21221 12 5 c) ( ) cx ++ 23221 5 2 d) ( ) cx ++ 212 12 5 3 e) ( ) cx +− 25321 9 5 SOLUÇÃO 7 (1) ( )∫ =− ?21.3 2 1 2 dxxx Vamos resolver esta integral por substituição ou mudança de variável. Deixamos a constante para o final da nossa resolução. (2) Façamos a mudança de variável: − = −= −= x du dx x dx du xu 4 4 21 2 Substituindo: ( ) ( ) ( ) ( ) cx teconsacomdocomplexu u uu xuondeduu duu du x xu x du ux +−−= −−∴−= −∴ −∴ + −= −=−= −= − = − + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 2 2 3 22 3 2 32 312 1 22 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 .tantan,21 2 1 2 1 3 2 . 4 3 2 34 3 1 2 14 3 21, 4 3 4 3 4 1 3 4 3 Resposta: Letra A Página 5 de 6 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 8. Calcule a integral abaixo usando o método de integração possível. ∫ xdxx ln. a) cx x +ln 2 2 b) cx x ++ 2ln 2 2 c) ( ) cxx ++ 2ln 2 2 d) cx x ++ ) 2 1 (ln 2 2 e) cx x +− ) 2 1 (ln 2 2 SOLUÇÃO 8 (1) Só há condições de resolver a integral por partes. Vejamos que o algoritmo pode ser: ∫ ∫−= vdxuuvdxuv ll Para a função “u” encontramos a derivada “ul” Para a função “vl” encontramos a integral “v” (2) 2 1 ln ?lnu - uv =dx u v 2 ll x vxve x uxu xdxxvdx ll =→==→= =∫ ∫ ∫ Substituindo no algoritmo acima: 22 1 ln 2 2 1 2 .lnln 2 . 1 2 .lnln 22 2 22 x x x xdx x xxdxx dx x x x xxdxx −= −= −= ∫ ∫ ∫ ∫ Pode ser: cx x oucxx x + − +− 2 1 ln 2 , 4 1 ln 2 2 2 2 Resposta: letra E 9. Determine a área delimitada pelos gráficos das funções y = x2 – 1 e y = 1 – x2. a) 8/3 b) 4/3 c) 2 d) ½ e) 6/5 SOLUÇÃO 9 (1) A área formada pelas funções y = x2 – 1 e y = 1 – x2 pode ser entendida pela formação das parábolas: (2) Os limites de integração são obtidos pela interseção das curvas. Então: x2 – 1 = 1 – x2 ∴ x2 + x2 = 2 ∴ x2 = 1 (x = 1 e x = – 1 ) (3) Organizando e resolvendo a integral, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 3 412 3 4 4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 1 212 3 1 212 3 2222 3 2222 33 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 =−=−= −+−= +−−−= −−−−−= = −=− −=− − − − − ∫ ∫ x xdxx x xdxx Resposta: Letra A (8/3 ua) 10. quanto trabalho deve ser realizado para deslocar um corpo de 2m por meio de uma força F(x) = 120 + 25 sen (x) ? (Considere no problema cos0º = cos1º = cos2º todas as grandezas no SI). a) 120 b) 240 c) 60 d) 180 e) Zero Página 6 de 6 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA SOLUÇÃO 10 GRADUAÇÃO EAD GABARITO PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 AV2 –15/07/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E C D B D B ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 3 CÁLCULO INTEGRAL 1. Utilizando a Regra da Cadeia derive : a) b) c) d) e) 2. Derive em função de : b) c) e) 3. Derive : a) b) c) d) e) 4. Determina a Integral Indefinida de : a) b) c) d) e) 5. Calcule a derivada da função : a)b) c) d) e) 6 . Determine 2 1 0 lim x xe x x −− → . Encontramos: a) Zero b) 1 c) 2 1 d) – ∞ e) + ∞ 7. Qual função representa o resultado da integral a) b) c) d) e) 8. Qual função representa o resultado da integral a) b) c) Página 3 de 3 CÁLCULO INTEGRAL d) e) 9. Resolva o limite da função seguinte, aplicando a regra de L’Hospital: a) b) c) d) e) 10. Calcule o valor da área correspondente a região delimitada pelo conjunto de pontos formado por e a) b) c) d) e) GRADUAÇÃO EAD GABARITO PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 FINAL – 23/07/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR(A) TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C E C B D A ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 3 CÁLCULO INTEGRAL 1. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da derivada . a) b) c) d) e) 2. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: a) b) c) d) e) 3. Aplique a regra de L’Hospital para encontrar o limite da expressão: a) b) c) d) e) 4. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) 5. Qual das seguintes alternativas expressa a área delimitada pelas curvas e a) b) c) d) e) 6. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) 7. Determine a derivada da função dada da implicitamente na expressão: a) b) c) d) e) Página 3 de 3 CÁLCULO INTEGRAL 8. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) 9. Calcule a derivada correspondente a expressão a) b) c) d) e) 10. Calcule a derivada correspondente a expressão a) b) c) d) e) Página 1 de 7 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO AV2 2017.1B – 10/06/2017 1. Utilizando uma regra apropriada, calcule o seguinte limite: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra D. Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP capítulo II – Regra De L’Hôpital páginas 37 a 39. Comentário: Tentando resolver o limite percebemos chegar a uma indeterminação do tipo Para solucionar o impasse devemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando as funções GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO INTEGRAL Professor (a) ARNOBIO ROBERTO CANECA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D E B A D C E A C B Página 2 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 2. Seja , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da derivada . a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra E. Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP capítulo I – A derivada da função implícita, página 5. Comentário: Aplicando o método de derivação implícita: 3. Determine a função que representa a integral a) b) c) Página 3 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA d) e) Alternativa correta: Letra B. Identificação de conteúdo: A resposta está na 3ª web conferência Integração pelo método da substituição. Comentário: Aplicando o método da substituição de uma nova variável, teremos: Substituindo essa nova variável na integral, temos: Assim, a solução da integral é dada por: 4. Aplicando a técnica apropriada, a solução para a integral será: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra A. Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP/PEARSON capítulo III – Integração por partes, páginas 66 a 71. Comentário: Aplicando a técnica de integração “por partes”: (expressão por integração por parte) Definindo a variável Definindo a variável Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: A solução para a integral apresentada será ela própria Página 4 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA Colocando o resultado da integral na soma da integração por partes ficaremos com: 5. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, determine o valor de: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra D. Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo III – A integral definida, páginas 64 a 66. Comentário: Aplicando o teorema fundamental do cálculo: 6. Determine a área, em unidades de área (u.a.), da região compreendida entre as funções e : Página 5 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA a) 58 u.a. b) 40 u.a. c) 36 u.a. d) 18 u.a. e) 6 u.a. Alternativa correta: Letra C. Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo IV – Cálculo de área, páginas 100 a 106. Comentário: A área será determinada pela diferença entre as funções da origem, isto é, (0, 0) até a interseção das curvas que está no ponto (6,6): 7. Dada a função , encontre o valor para a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra E. Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo I – Derivada da função exponencial, páginas 23 a 25. Comentário: Aplicando a regra da cadeia para a função teremos: 8. Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra A. Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP Capítulo IV – Integração de funções racionais, páginas 77 a 87. Comentário: Para solucionar a integral devemos reescrever a fração em termos de somas de frações menores, isso deverá ser feito decompondo o polinômio que surge no denominador da integral assim teremos que: Aplicando a técnica, a fração poderá ser decomposta como: Página 6 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA Temos que encontrar os valores de A e B que satisfaçam as seguintes condições: Multiplicando a primeira equação por e, somando os resultados teremos: Com os valores de A e B conhecidos, reescreveremosa integral. A solução das integrais será: 9. Utilizando a regra de L’Hôpital, calcule o seguinte limite: a) b) 1 c) d) e) Alternativa correta: Letra C. Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP capítulo II – Regra De L’Hôpital páginas 37 a 39. Comentário: Aplicando a regra de L’Hôpital 10. Determine a função que representa a integral a) b) c) Página 7 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA d) e) Alternativa correta: Letra B. Identificação de conteúdo: A resposta está no seu BUP da Unidade II – Integração envolvendo potência de seno e cosseno – páginas 55 a 58. Comentário: Como Aplicando a técnica de integração “da substituição”: Definindo a variável Aplicando a substituição na expressão, temos: Como , Então: Página 1 de 7 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO SEGUNDA CHAMADA 2017.1B – 17/06/2017 1. Determine a área definida pela região sombreada no gráfico da figura abaixo. a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra B Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo IV – Cálculo de área, páginas 100 à 106. Comentário: A = GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO INTEGRAL Professor (a) ARNOBIO ROBERTO CANECA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A E D C D B B E B Página 2 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 2. Utilizando a Regra da Cadeia, derive : a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra A Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo I – A regra da cadeia, página 23. Comentário: Derivando essa função pela regra da cadeia, temos: Que quando reorganizamos, ficamos com a expressão: = 3. Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: a) b) 4 c) d) e) Alternativa correta: Letra E Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo IV – Integração de funções racionais, páginas 77 à 87. Comentário: Para solucionar a integral devemos reescrever a fração em termos de somas de frações menores, isso deverá ser feito decompondo o polinômio que surge no denominador da integral, assim teremos que: Aplicando a técnica, a fração poderá ser decomposta como: Temos que encontrar os valores de A e B que satisfaçam as seguintes condições: Somando os resultados teremos: Página 3 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA Com os valores de A e B conhecidos, reescreveremos a integral. A solução das integrais será: 4. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, determine o valor de: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra D Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo III – A integral definida, página 64 à 66. Comentário: Aplicando o teorema fundamental do cálculo: 5. Aplicando a técnica apropriada, a solução para a integral será: a) b) c) d) e) Página 4 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA Alternativa correta: Letra C Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP/PEARSON, capítulo III – Integração por partes, páginas 66 à 71. Comentário: Aplicando a técnica de integração “por partes”: (expressão por integração por parte) Definindo a variável Definindo a variável Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: A solução para a integral apresentada será: Colocando o resultado da integral na soma da integração por partes ficaremos com: 6. Resolva o limite da função seguinte, aplicando a regra de L’Hôpital: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra D Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo II – Regra De L’Hôpital páginas 37 à 39. Comentário: Usando a regra de L’Hôpital para calcular o limite: Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando o numerador e o denominador) Página 5 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA Quando fazemos a substituição de verificamos que ainda nos deparamos com uma indeterminação, assim teremos que usar a regra de L’Hôpital pela segunda vez: 7. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da derivada . a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra B Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo I – A derivada da função implícita, página 5. Comentário: Aplicando o método de derivação implícita: 8. Determine a função que representa a integral . a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra B Identificação de conteúdo: A resposta está no seu BUP da Unidade II – Integração envolvendo potência de seno e cosseno – páginas 55 à 58. Página 6 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA Comentário: Como Aplicando a técnica de integração “da substituição”: Definindo a variável Aplicando a substituição na expressão, temos: Como , Então: 9.Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada da função . a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra E Identificação de conteúdo: A resposta está no BUP, capítulo I – A regra da cadeia, página 23. Comentário: Aplicando a regra da cadeia, teremos: Teremos que aplicar novamente a regra da cadeia Rearrumando, teremos: Página 7 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO ROBERTO CANECA 10. Determine o valor da integral a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra B Identificação de conteúdo: A resposta você encontra no seu BUP, Capítulo III – A integral definida, página 64 à 66. Comentário: Aplicando a integral da função exponencial que é ela própria, portanto, faremos: Página 1 de 7 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO FINAL 2017.1B – 08/07/2017 1. Calcule a derivada da expressão a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra A Identificação do conteúdo: BUP capítulo I – A regra do produto e a regra da cadeia, páginas 20 à 23. Comentário: Seja a função dada por a sua derivada correspondente pode ser determinada usando a regra da multiplicação e da cadeia, assim: Aplicando a regra do produto: Simplificando essa expressão temos: GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO INTEGRAL Professor (a) ARNOBIO R. CANECA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C E B D B D A C D Página 2 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 2. A área delimitada pelas curvas e abaixo é: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra C Identificação do conteúdo: BUP Capítulo IV – Cálculo de área, páginas 100 à 106. Comentário: Observando a figura vemos que devemos calcular a área delimitada por , definida por 3. Aplicando a técnica apropriada, resolva a integral a) b) c) d) Página 3 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA e) Alternativa correta: letra E Identificação do conteúdo: 3ª web conferência: Integração pelo método da substituição Comentário: Aplicando a técnica de integração “substituição de uma nova variável”: Substituindo essa nova variável na integral, temos: Assim, a solução da integral é dada pela substituição da variávelu pela variável x: 4. Aplique a regra de L’Hôpital para encontrar o limite da expressão: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra B Identificação do conteúdo: BUP capítulo II – Regra De L’Hôpital, páginas 37 à 39. Comentário: Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando o numerador e o denominador): 5. Determine a derivada implícita da função dada por: a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra D Identificação do conteúdo: BUP capítulo I – A derivada da função implícita, página 5. Comentário: Derivando: Página 4 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 6. Determine a função que representa a integral a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra B Identificação do conteúdo: BUP da Unidade II – Integração envolvendo potência de seno e cosseno – páginas 55 à 58. Comentário: Como Aplicando a técnica de integração “da substituição”: Definindo a variável Aplicando a substituição na expressão, temos: Como , Então: Página 5 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA 7. Calcule a derivada da função a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra D Identificação do conteúdo: BUP capítulo I – A regra do quociente, página 24. Comentário: Se a função dada é o quociente de duas funções sua derivada correspondente pode ser determinada usando a regra do quociente, assim: Simplificando essa expressão temos: 8. Seja as integrais definidas abaixo: . Determine o valor de . a) b) c) d) e) Alternativa correta: Letra A Identificação do conteúdo: BUP Capítulo III – A integral definida, página 64 à 66. Comentário: Resolvendo cada uma das integrais teremos: . Página 6 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA O valor de: Será: 9. Aplicando a técnica apropriada a solução para a integral será: a) b) c) d) e) Alternativa correta: letra C Identificação do conteúdo: BUP/PEARSON capítulo III – Integração por partes, páginas 66 à 71. Comentário: Aplicando a técnica de integração “por partes”: (expressão por integração por parte) Definindo a variável Definindo a variável Aplicando os termos e na expressão por partes, temos: A solução para a integral apresentada será ela própria Página 7 de 7 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESSOR (A): ARNOBIO R. CANECA Colocando o resultado da integral na soma da integração por partes ficaremos com: 10. Determine o valor da integral a) b) c) d) e) Alternativa correta: letra D Identificação do conteúdo: BUP Capítulo III – A integral definida, páginas 64 à 66. Comentário: Aplicando a regra da potencia para solucionar a integral faremos: Página 1 de 2 GRADUAÇÃO EAD AV2 2018.1B 16/06/2018 QUESTÃO 1. Quatro pessoas caminhavam por um parque e seus percursos foram registrados respectivamente pelas funções: retas x=0, x=1, y=2 e pelo gráfico de y=x². Calcule a área que representa o percurso formado pelas pessoas no parque. (Sugestão: construir o gráfico das funções no mesmo plano). R: QUESTÃO 2. Determine a família de soluções da integral indefinida R: QUESTÃO 3. Se a curva de rendimento marginal é dada por R = 50 – 0,2X, determine as curvas de rendimento total. R: R= 50X-0,1X² QUESTÃO 4. Uma partícula desloca-se sobre o eixo OX com velocidade v(t)= 2- t. Calcule o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3. R: D= 0 QUESTÃO 5. Seja f uma função inversível, com função inversa g. Se f for derivável em q=g(p), com f’ (q) ≠ 0, e se g for contínua em p, então g será derivável em p. De acordo com o teorema citado, determine a derivada y= arc sen x². R: QUESTÃO 6. Determine a área de uma região limitada pelo gráfico de pelo eixo x e pelas retas x= -1 e x=1. R: 1/2 QUESTÃO 7. Determine a solução da derivada da função R: QUESTÃO 8. Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), limitados por R: 1/3 QUESTÃO 9. Determine o volume do sólido resultante da rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos (x,y) tais que R: CÁLCULO INTEGRAL Página 2 de 2 QUESTÃO 10. 10. Determine a área, em unidades de área (u.a.), da região compreendida entre as funções R: 36 u.a. Página 1 de 1 GRADUAÇÃO EAD SEGUNDA CHAMADA 2018.1B 30/06/2018 QUESTÃO 1. Duas pessoas caminhavam por um parque e seus percursos foram registrados, respectivamente, pela função: y=x e pelo gráfico de y=x², com 0≤ x ≤ 2. Assim, calcule a área que representa o percurso formado pelas pessoas no parque. (Sugestão: construir o gráfico das funções no mesmo plano). R: 1 QUESTÃO 2. Determine a família de soluções da integral indefinida a seguir: R: 𝟏 𝟓 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟓+c QUESTÃO 3. Se a curva de rendimento marginal é dada por R = 20 – 0,2X, assinale a alternativa que determina as curvas de rendimento total. R: R= 20X-0,1X² QUESTÃO 4. Uma partícula desloca-se sobre o eixo OX com velocidade v(t)= 2- t. Desse modo, calcule o espaço percorrido entre os instantes t=1 e t=3. R: D= 1/2 QUESTÃO 5. Seja f uma função inversível, com função inversa g. Se f for derivável em q=g(p), com f’ (q) ≠ 0, e se g for contínua em p, então g será derivável em p. De acordo com o teorema citado, determine a derivada y= arc tg3x. R: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟏+𝟗𝒙² QUESTÃO 6. Determine pela primeira regra de L’ Hospital 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒑 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒑 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙) , para: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙𝟓 −𝟔𝒙𝟑+𝟖𝒙−𝟑 𝒙𝟒 −𝟏 R: -5/4 QUESTÃO 7. Determine o volume do sólido resultante da rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos (x,y) tais que 0≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x- x³. ). R: 𝟐 𝟏𝟓 QUESTÃO 8. Determine a área de uma região limitada pelo gráfico de f(x)= x²- x, com 0 ≤ x ≤ 2. R: 1 QUESTÃO 9. Determine a solução da derivada da função f(x)= x 𝒆𝒙. R: 𝒆𝒙 ( 1 + x) QUESTÃO 10. Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y). ∫ 𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 R: -4ln|𝑥 − 1| + 5ln|𝑥 − 2| + k CONFEITARIA E DOÇARIA Página 1 de 2 GRADUAÇÃO EAD FINAL 2018.1B 07/07/2018 QUESTÃO 1. Quatro pessoas caminhavam por um parque e seus percursos foram registrados respectivamente pelas funções: retas x=0, x=1, y=2 e pelo gráfico de y=x². Calcule a área que representa o percurso formado pelas pessoas no parque. (Sugestão: construir o gráfico das funções no mesmo plano). R: QUESTÃO 2. Determine a família de soluções da integral indefinida . R: +c QUESTÃO 3. Se a curva de rendimento marginal é dada por R = 15 – 0,2X, determine as curvas de rendimento total. R: R= 15X-0,2X² QUESTÃO 4. Uma partícula desloca-se sobre o eixo OX com velocidade v(t)= 2- t. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=1 e t=3. R: D= 1/2 QUESTÃO 5. Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), R: -4ln + 5ln + k QUESTÃO 6. Determine pela primeira regra de L’ Hospital = , para: R: 2 QUESTÃO 7. Determine o volume do sólido resultante da rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos (x,y) taisque x² + y² ≤ r², y ≥ 0(r >0 ). CÁLCULO INTEGRAL Página 2 de 2 R: QUESTÃO 8. Determine a área de uma região limitada pelo gráfico de f(x)= x²- x, com 0 ≤ x ≤ 2. R: 1 QUESTÃO 9. Determine a solução da derivada da função f(x)= x² . R: x ( 2 +2 x) QUESTÃO 10. Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), limitados por x²≤y≤ R: 1/3 Página 1 de 2 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO FINAL 2018.1B – 14/07/2018 1. Determine a área definida pela região sombreada no gráfico da figura abaixo. 2. Utilizando a Regra da Cadeia, derive : 3. Aplicando o método das frações parciais, encontre o resultado da integral: QUESTÕES Disciplina CÁLCULO INTEGRAL Página 2 de 2 DISCIPLINA: CÁLCULO INTEGRAL 4. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, determine o valor de: 5. Aplicando a técnica apropriada, a solução para a integral será: 6. Resolva o limite da função seguinte, aplicando a regra de L’Hôpital: 7. Seja , , a função dada implicitamente pela equação Determine a equação da derivada . 8. Determine a função que representa a integral . 9.Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada da função . 10. Determine o valor da integral 05/06/2021 Comentários https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_52830_1/grades/assessment/_3709318_1/overview/attempt/_12638451_1/review/inline-feedback?… 1/7 Conteúdo do exercício Ocultar opções de resposta Henrique Eduardo da Silva Pergunta 1 -- /0,6 Utilizando conceito de integral, para o cálculo de área, determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de f(x)=x³-x²-2x, -1≤ x ≤ 2. -2 -8/3 -1 Resposta correta37/12 5/12 Nota final --- 5,4/6 5,4/6 Tentativa 1 Enviado: 05/06/21 14:56 (BRT) 05/06/2021 Comentários https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_52830_1/grades/assessment/_3709318_1/overview/attempt/_12638451_1/review/inline-feedback?… 2/7 Ocultar opções de resposta Ocultar opções de resposta Pergunta 2 -- /0,6 Uma criança prendeu duas cordas em uma tábua, de forma que estas se interceptaram em um ponto, e ficaram com o formato das funções 1 over x less or equal than y less or equal than x comma space 1 x less or equal than 2. Em seguida a criança começou a girar a tábua. Observando giro em torno de um eixo imaginário x, percebesse que o mesmo gera a imagem de um sólido. Sendo assim determine o volume do sólido resultante da rotação. 4 over 3 r cubed πr cubed 7 over 3 straight pi Resposta correta11 over 6 straight pi 4 over 3 straight pi Pergunta 3 -- /0,6 Determine a solução da derivada da função f(x)= x² e to the power of x . x left parenthesis 2 space plus space x right parenthesis x squared space e to the power of x 2 x e to the power of x x e to the power of x 05/06/2021 Comentários https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_52830_1/grades/assessment/_3709318_1/overview/attempt/_12638451_1/review/inline-feedback?… 3/7 Ocultar opções de resposta Resposta corretax e to the power of x left parenthesis 2 plus x right parenthesis Pergunta 4 -- /0,6 Conhecendo o teorema fundamental do cálculo, que diz que se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então começar estilo tamanho matemático 12px integral com a subscrito com b sobrescrito f parêntese esquerdo x parêntese direito d x igual a espaço F parêntese esquerdo b parêntese direito menos F parêntese esquerdo a parêntese direito fim do estilo . Sendo assim, utilize o teorema para determinar A, que é o conjunto de todos os pontos (x,y), de forma que x > 0 e começar estilo tamanho matemático 12px numerador 1 sobre denominador x ² fim da fração menor ou igual a y menor ou igual a 5 menos 4 x ² fim do estilo . Em seguida, assinale a alternativa correta. começar estilo tamanho matemático 12px 3 sobre 4 fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px 3 sobre 2 fim do estilo Resposta corretacomeçar estilo tamanho matemático 12px 1 terço fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px 1 meio fim do estilo Pergunta 5 -- /0,6 Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y), compreendidos entre os gráficos de y=x e y= x², com 0 ≤x ≤2. 05/06/2021 Comentários https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_52830_1/grades/assessment/_3709318_1/overview/attempt/_12638451_1/review/inline-feedback?… 4/7 Ocultar opções de resposta Ocultar opções de resposta -2/3 Incorreta: 1/3 -1 Resposta correta1 2/3 Pergunta 6 -- /0,6 De acordo com o teorema fundamental do cálculo, se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então começar estilo tamanho matemático 12px integral com a subscrito com b sobrescrito f parêntese esquerdo x parêntese direito d x igual a espaço F parêntese esquerdo b parêntese direito menos F parêntese esquerdo a parêntese direito fim do estilo . Sendo assim, utilize o teorema e determine a área da região do plano, limitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x)= x². Depois, marque a alternativa correta. Resposta corretacomeçar estilo tamanho matemático 12px 1 terço fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px 1 meio fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px 3 sobre 2 fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px 3 sobre 4 fim do estilo Pergunta 7 -- 05/06/2021 Comentários https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_52830_1/grades/assessment/_3709318_1/overview/attempt/_12638451_1/review/inline-feedback?… 5/7 Ocultar opções de resposta Ocultar opções de resposta Pergunta 7 Determine pela primeira regra de L’ Hospital limit as x rightwards arrow 1 of fraction numerator x to the power of 5 minus 6 x cubed plus 8 x minus 3 over denominator x to the power of 4 minus 1 end fraction -5/2 3/2 -3/2 Resposta correta-5/4 1 Pergunta 8 -- /0,6 Resolva o limite da função seguinte, aplicando a regra de L’Hôpital: table row cell l i m end cell row cell x rightwards arrow infinity end cell end table fraction numerator ln space open parentheses 1 minus e to the power of x close parentheses over denominator x end fraction 2 plus infinity e over 2 Resposta correta1 zero 05/06/2021 Comentários https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_52830_1/grades/assessment/_3709318_1/overview/attempt/_12638451_1/review/inline-feedback?… 6/7 Ocultar opções de resposta Ocultar opções de resposta Pergunta 9 -- /0,6 Um motociclista realiza um deslocamento sobre o eixo Ox com velocidade v(t)= t²- 2t-3, t começar estilo tamanho matemático 12px maior ou igual a 0 fim do estilo. Calcule o espaço percorrido entre os instantes de t= 0 e t= 4. Depois, marque a alternativa correta. Resposta corretacomeçar estilo tamanho matemático 12px 34 sobre 3 fim do estilo 22 começar estilo tamanho matemático 12px 7 sobre 2 fim do estilo 4 15 Pergunta 10 -- /0,6 Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial: começar estilo tamanho matemático 14px f apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 4 x ³ menos 3 x ² espaço e espaço f parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a 9 fim do estilo . Em seguida, assinale a alternativa correta. começar estilo tamanho matemático 12px 2 x mais x ³ mais espaço 2 fim do estilo começar estilo tamanho matemático 12px e à potência de x mais espaço 5 fim do estilo Resposta corretacomeçar estilo tamanho matemático 12px x à potência de 4 menos espaço x ³ mais 7 fim do estilo 05/06/2021 Comentários https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_52830_1/grades/assessment/_3709318_1/overview/attempt/_12638451_1/review/inline-feedback?…
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