FÓRUM AVALIATIVO CALCULOIII

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2. (vale 1,0 pt) Sabemos da importância da integral em diversas aplicações na 
Física/Engenharia. De acordo com o conteúdo estudado em aula cite uma 
aplicação e indique como pode ser feito o cálculo: 
 
R: Integrais de linha são úteis em física para calcular o trabalho realizado por uma 
força em um objeto em movimento. 
 
Se você parametrizar a curva de forma que mova na direção oposta a medida que ttt 
aumenta, o valor da integral de linha é multiplicado por -1; 
 
 
 
 
 
3. (vale 2,0 pt) O campo vetorial 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 1)𝑖⃗ − 𝑥²𝑠𝑒𝑛𝑦𝑗⃗ define 
um campo de força sobre uma partícula em movimento que se desloca ao 
longo do segmento de reta ligando o ponto P=(0,0) ao ponto Q=(1,𝜋). 
 
a) (0,5 pt) Descreva como calcular o trabalho realizado por este campo 
de força no deslocamento da partícula ao longo do segmento PQ. 
 
R: Usando o cálculo de integral de linha podemos calcular o trabalho realizado, onde: 
 
 
 
b) Se conseguirmos provar que o campo é conservativo através da condição 
necessária e suficiente, existe outras maneiras de calcular, pela parametrização ou 
pela função potencial. 
 
My (x,y) = Nx (x,y) 
M(x,y) = 2x cosy - 1 e N(x,y) = - x² seny 
My(x,y) = - 2x seny = Nx(x,y) 
 
c) (0,5 pt) “O trabalho realizado por este campo de força será o mesmo, 
qualquer que seja a trajetória da partícula indo do ponto P ao ponto 
Q”. Você concorda com a afirmação? Fundamente sua resposta. 
 
R: Como demostrado na questão anterior, trata-se de um campo conservativo. Com 
isso comprovamos que o trabalho do deslocamento da partícula do ponto P até o ponto 
Q será sempre o mesmo independente da trajetória. 
 
d) (0,5pt) Calcule o trabalho realizado pelo campo 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) ao deslocar a 
partícula do ponto P ao ponto Q. 
 
R: Sabendo que é um campo conservativo, faremos o cálculo do trabalho através da 
função potencial. 
 
1) 2xcosy -1 = fx(x,y) 
2) - x²seny = fy(x,y) 
 
Integrando em x: 
 
∫2xcosy−1 dx= ∫fx(x,y) 
- x+C(y)= f(x,y) 
x²cosy−x+C(y)=f(x,y) 
 
Em y: 
 
fy(x,y) = x²(- seny) - x +C′(y) 
fy(x,y) = - x²seny - x +C′(y) 
 
 
Substituindo fy(x,y)=−x²seny−x+C′(y) na segunda equação: 
 
- x²seny = fy(x,y) 
- x²seny = - x²seny - 0+C′(y) 
- x²seny + x²seny = C′(y) 
 
C′(y) = 0 
 
Integrando em y: 
 
∫0dy=∫C′(y) dy 
C=C(y) 
 
Logo: 
f(x,y)=x²cosy - x+ C 
 
 
cálculo do trabalho através da função potencial: 
 
W = f(Q) - f(P) 
f(1,π) - f(0,0) = f(1,π )− f(0,0) = 
1²cosπ – 1 - (0²cos0 - 0 ) = 
 1.(-1) -1 = 
-1 -1 = 
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