Calcula el valor del límite lím x→0 ln(1 + 2x)− 2x 1 + 3x x2 . Si empleas equivalencias o la regla de l’Hôpital, indica por qué puedes hacerlo.

Para calcular o valor do limite, podemos usar a regra de L'Hôpital, que nos permite derivar a função e encontrar o limite da nova função derivada. Vamos aplicar a regra: lim x→0 (ln(1 + 2x) - 2x) / (1 + 3x) / x^2 Derivando o numerador e o denominador, temos: lim x→0 (2/(1 + 2x) - 2) / 3 / 2x Simplificando, temos: lim x→0 (2 - 2(1 + 2x)) / 3(2x) lim x→0 (2 - 2 - 4x) / 6x lim x→0 (-4x) / 6x lim x→0 -2/3 Portanto, o valor do limite é -2/3. Podemos aplicar a regra de L'Hôpital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x se aproxima de zero.