27. Acota el error de la fórmula de aproximación √1 + x ≈ 1 + x/2 − x^2/8 para 0 ≤ x ≤ 1 y halla un valor aproximado de √1′5 estimando el error c...

A fórmula de aproximação √(1 + x) ≈ 1 + x/2 - x^2/8 é uma aproximação válida para valores de x próximos de zero. No entanto, para valores maiores de x, o erro da aproximação aumenta. Para acotar o erro da fórmula de aproximação para 0 ≤ x ≤ 1, podemos usar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema nos diz que existe um valor c no intervalo [0, 1] tal que a diferença entre a função real e a função aproximada é igual à derivada da função no ponto c multiplicada pelo valor de x. A derivada da função √(1 + x) é 1/2√(1 + x), então podemos escrever o erro como: Erro = (1/2√(1 + c)) * x^2/8 Para acotar o erro, podemos encontrar o valor máximo da derivada no intervalo [0, 1]. A derivada máxima ocorre quando x = 1, então podemos substituir esse valor na fórmula: Erro máximo = (1/2√(1 + 1)) * 1^2/8 = 1/8√2 Agora, para estimar o valor aproximado de √1.5, podemos substituir x = 0.5 na fórmula de aproximação: √1.5 ≈ 1 + 0.5/2 - 0.5^2/8 = 1.375 Lembrando que essa é uma aproximação e o valor real de √1.5 é aproximadamente 1.2247.