Sea R+ el conjunto de los números reales positivos. Se considera la aplica-ción f : R+ → R dada por f(x) = log x. Demostrar que f es homomorfismo...

Para demonstrar que a função f(x) = log x é um homomorfismo entre os grupos (R+, ·) e (R,+), precisamos mostrar que ela preserva a operação de cada grupo. Primeiro, vamos considerar o grupo (R+, ·), onde R+ é o conjunto dos números reais positivos e · representa a operação de multiplicação. Para mostrar que f é um homomorfismo, devemos verificar se f(a · b) = f(a) + f(b) para todos os a, b em R+. Vamos começar calculando f(a · b): f(a · b) = log(a · b) Agora, vamos calcular f(a) + f(b): f(a) + f(b) = log(a) + log(b) = log(a · b) Podemos ver que f(a · b) = f(a) + f(b), o que significa que a função f preserva a operação de multiplicação. Agora, vamos considerar o grupo (R, +), onde R é o conjunto dos números reais e + representa a operação de adição. Para mostrar que f é um homomorfismo, devemos verificar se f(a + b) = f(a) + f(b) para todos os a, b em R+. Vamos começar calculando f(a + b): f(a + b) = log(a + b) Agora, vamos calcular f(a) + f(b): f(a) + f(b) = log(a) + log(b) = log(a · b) Podemos ver que f(a + b) ≠ f(a) + f(b), o que significa que a função f não preserva a operação de adição. Portanto, concluímos que a função f(x) = log x é um homomorfismo entre os grupos (R+, ·) e (R,+).