La proposición rećıproca de la anterior es: Sea f : V → R una forma cuadráticca. Si f es convexa, entonces es positiva. Veamos que es cierta. En...

La proposición rećıproca de la anterior es:
Sea f : V → R una forma cuadráticca. Si f es convexa, entonces es positiva.
Veamos que es cierta. En efecto, supongamos que la forma cuadrática f no fuera positiva. Existiŕıa entonces una base en V respecto de la cual la expresión de f es f(x) = d1x^2_1 + . . . + drx^2_r (r ≤ n) en donde algún di < 0. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que d1 < 0. Elijamos los escalares α = 2/3 β = 1/3 y los vectores x, y ∈ V cuyas coordenadas en la base elegida son (1, 0, . . . , 0) y (−1, 0, . . . , 0) respectivamente. Entonces: f(αx+ βy) = d1/9 > d1 = αf(x) + βf(y), siendo α ≥ 0, β ≥ 0 y α+β = 1. Es decir, f no seŕıa convexa. Podemos pues concluir que una forma cuadrática f : V → R con V de dimensión finita es convexa śı, y sólo si es positiva.