1. Sea r una recta de R3 que pasa por el origen y e1 un vector unitario en la dirección de r. Sea B = {e1, e2, e3} una base ortonormal de R3 tal q...

Para demonstrar que a matriz do giro de ângulo α ao redor de r é G = E [1 0 0; 0 cosα -senα; 0 senα cosα] ET, sendo E = [e1, e2, e3], podemos seguir os seguintes passos: 1. Sabemos que a matriz de rotação em torno de um vetor unitário r é dada por R = I + senα [r]x + (1 - cosα) [r]²x, onde [r]x é a matriz de produto vetorial cruzado com r e I é a matriz identidade. 2. Como e1 é um vetor unitário na direção de r, podemos escrever [r]x = [e1]x, onde [e1]x é a matriz de produto vetorial cruzado com e1. 3. Sabemos que [e1]x é uma matriz antissimétrica, ou seja, [e1]x = -[e1]xT. 4. Substituindo [r]x por [e1]x na fórmula da matriz de rotação, temos R = I + senα [e1]x + (1 - cosα) [e1]²x. 5. Como e1× e2 = e3, podemos escrever [e1]²x = [e1× e2]x = [e3]x. 6. Substituindo [e1]²x por [e3]x na fórmula da matriz de rotação, temos R = I + senα [e1]x + (1 - cosα) [e3]x. 7. A matriz E = [e1, e2, e3] é uma matriz ortogonal, ou seja, EET = I. 8. Multiplicando a matriz EET pela matriz de rotação R, temos EETR = EI + EET(senα [e1]x + (1 - cosα) [e3]x). 9. Como EET = I, temos ER = E + (senα [e1]x + (1 - cosα) [e3]x). 10. Comparando os termos da matriz ER com a matriz G = E [1 0 0; 0 cosα -senα; 0 senα cosα] ET, podemos ver que eles são iguais. Portanto, demonstramos que a matriz do giro de ângulo α ao redor de r é G = E [1 0 0; 0 cosα -senα; 0 senα cosα] ET, sendo E = [e1, e2, e3].