3. Hallar el mı́nimo de la función z = 4x1 + 8x2 + 3x3 con las restricciones x1 + x2 ≥ 2 2x2 + x3 ≥ 5 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Para resolver esse problema de otimização com restrições, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, vamos definir a função objetivo e as restrições: Função objetivo: z = 4x1 + 8x2 + 3x3 Restrições: 1) x1 + x2 ≥ 2 2) 2x2 + x3 ≥ 5 3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 Agora, vamos usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar o mínimo da função objetivo sujeito às restrições. Vamos introduzir os multiplicadores λ1, λ2 e λ3 para cada uma das restrições, respectivamente. Montando a função Lagrangeana: L(x1, x2, x3, λ1, λ2, λ3) = 4x1 + 8x2 + 3x3 + λ1(x1 + x2 - 2) + λ2(2x2 + x3 - 5) + λ3(x1) + λ3(x2) + λ3(x3) Agora, vamos calcular as derivadas parciais em relação a x1, x2, x3, λ1, λ2 e λ3 e igualá-las a zero: ∂L/∂x1 = 4 + λ1 + λ3 = 0 ∂L/∂x2 = 8 + λ1 + λ2 + λ3 = 0 ∂L/∂x3 = 3 + λ2 + λ3 = 0 ∂L/∂λ1 = x1 + x2 - 2 = 0 ∂L/∂λ2 = 2x2 + x3 - 5 = 0 ∂L/∂λ3 = x1 + x2 + x3 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontraremos os valores de x1, x2, x3, λ1, λ2 e λ3 que minimizam a função objetivo sujeita às restrições. Lembre-se de verificar as condições de otimalidade para garantir que a solução encontrada seja realmente um mínimo.