Calcule ∫ x2 + 3 x3 + x dx .

Para resolver essa integral, podemos utilizar a técnica de decomposição em frações parciais. Primeiramente, vamos dividir o denominador pelo numerador: x3 + x / x2 + 3 = x(x2 + 3)-1 Agora, vamos decompor em frações parciais: x(x2 + 3)-1 = A/x + Bx+C/(x2 + 3) Multiplicando ambos os lados por x(x2 + 3), temos: x = A(x2 + 3) + (Bx + C)x x = Ax2 + 3A + Bx2 + Cx Igualando os coeficientes, temos: A + B = 0 C = 0 3A = 1 Logo, A = 1/3 e B = -1/3. Portanto, a integral fica: ∫(x2 + 3)/(x3 + x) dx = ∫(1/3)/(x) dx - ∫(1/3)/(x+1) dx + ∫(1/3)/(x2 + 3) dx Resolvendo cada integral, temos: ∫(1/3)/(x) dx = (1/3)ln|x| + C1 ∫(1/3)/(x+1) dx = (1/3)ln|x+1| + C2 ∫(1/3)/(x2 + 3) dx = (1/√3)(1/√3)arctan(x/√3) + C3 Portanto, a solução da integral é: (1/3)ln|x| - (1/3)ln|x+1| + (1/√3)arctan(x/√3) + C