Seja f : [−a, a] → R integrável. Se f é uma função ímpar, prove que � a −a f(x)dx = 0. Se f for par, prove que � a −a f(x)dx = 2 � a 0 f(x)dx

Para provar as afirmações, vamos considerar as definições de funções ímpares e pares. 1. Função ímpar: Uma função \( f \) é ímpar se \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \) no domínio. Para a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico \([-a, a]\): \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \] Agora, fazemos uma substituição na primeira integral. Seja \( u = -x \), então \( du = -dx \) e os limites de integração mudam de \(-a\) para \(0\) para \(a\) para \(0\): \[ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(-u)(-du) = \int_{0}^{a} -f(u) \, du = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx \] Portanto, temos: \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = 0 \] 2. Função par: Uma função \( f \) é par se \( f(-x) = f(x) \) para todo \( x \) no domínio. Para a integral de uma função par em um intervalo simétrico \([-a, a]\): Usamos a mesma abordagem: \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \] Fazendo a mesma substituição \( u = -x \): \[ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(-u)(-du) = \int_{0}^{a} f(u) \, du = \int_{0}^{a} f(x) \, dx \] Assim, temos: \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \] Portanto, as duas afirmações estão provadas: - Se \( f \) é ímpar, \( \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \). - Se \( f \) é par, \( \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \).