Para resolver essa questão, precisamos entender o que significa construir uma circunferência de raio \( r \) cuja área seja igual ao dobro da área de um quadrado de lado \( x \). A área do quadrado é \( x^2 \), então o dobro dessa área é \( 2x^2 \). A área de uma circunferência é dada por \( A = \pi r^2 \). Para que a área da circunferência seja igual ao dobro da área do quadrado, temos: \[ \pi r^2 = 2x^2 \] Isso implica que: \[ r^2 = \frac{2x^2}{\pi} \] Portanto, precisamos encontrar \( r \): \[ r = \sqrt{\frac{2x^2}{\pi}} = \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \] Como sabemos que \( \pi \) não é um número construtível, a expressão \( \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \) não pode ser construída, pois envolve a raiz de \( \pi \). Agora, analisando as alternativas: a) Esse problema é possível, pois, para construir uma circunferência, precisamos apenas de seu raio, e não da construção de \( \pi \). - Incorreta, pois o raio envolve \( \pi \). b) Esse problema é possível, já que o raio do círculo deve ser igual ao lado do quadrado, que já foi dado. - Incorreta, pois o raio não é igual ao lado do quadrado. c) O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento \( \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{\pi}} \), e já vimos que \( \pi \) não é construtível. - Incorreta, a expressão correta é \( \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \). d) O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento \( \frac{\sqrt{\sqrt{2}x}}{\sqrt{\pi}} \), e não sabemos construir o quociente de duas raízes. - Incorreta, a expressão não está correta. e) O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento \( \frac{x}{\pi} \), e já vimos que \( \pi \) não é construtível. - Incorreta, a expressão correta é \( \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \). Nenhuma das alternativas está correta, mas a que mais se aproxima da lógica do problema é a c), que menciona a impossibilidade de construção devido à presença de \( \pi \). Portanto, a resposta correta é: c) O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento \( \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{\pi}} \), e já vimos que \( \pi \) não é construtível.