Atividade Avaliativa Geometria Espacial - Univesp

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SEMANA 5
PERGUNTA 1
Sabemos que o cone reto (ou cone de revolução) é construído a partir de um triângulo
retângulo, sendo que um cateto é a altura, enquanto o outro cateto é o raio da base e a
hipotenusa é a geratriz.
Considerando um cone reto cujas medidas do raio da base, altura e geratriz são,
respectivamente, r, h e g, podemos afirmar que para calcular sua área lateral devemos aplicar:
a. AL = πr + 2g
b. AL = 2π + rg
c. AL = πr + g
d. AL = π + rg
e. AL = πr g
PERGUNTA 2
Apollônio de Perga, também chamado de “o grande geômetra”, matemático grego, foi o autor
do Tratado das seções cônicas, composto de oito livros, que é considerado uma das principais
obras científicas da Antiguidade. Sabemos que as cônicas são muito usadas desde sua época
(por exemplo, na astronomia e arquitetura) até os dias de hoje.
Assim, considere um cone reto e, por esse cone, “passa” um plano paralelo à sua base, de tal
forma que esse plano fique entre o vértice e a base do cone. Desse modo, obtemos uma
intersecção e, dessa intersecção, obtém-se uma cônica. Como podemos “chamar” (ou
denominar) essa cônica obtida?
a. “Chamamos” de parábola.
b. “Chamamos” de cilindro.
c. “Chamamos” de circunferência.
d. “Chamamos” de ponto.
e. “Chamamos” de elipse.
PERGUNTA 3
Em certa escola, cada turma tinha um representante, ou seja, um aluno que representaria a
turma e os professores perante a
sala, durante aquela semana. Uma professora decidiu fazer um chapéu, para que todos
pudessem diferenciar esse aluno.
O chapéu tinha o formato de um cone, porém, sem a base, já que deveria entrar na cabeça dos
alunos. Para fazer o chapéu,
a professora usou uma cartolina de 60 cm de largura e 45 cm de largura. Para que o chapéu
não ficasse tão alto, a professora
decidiu fazê-lo com 45 cm de altura e cortou o chapéu na cartolina de forma que a região
cortada fosse igual à largura total da cartolina.
Considerando o texto acima, qual deve ser as dimensões máximas desse cone, para que a
professora consiga utilizar o máximo da cartolina?
a. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π√5 / 2 cm².
b. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π / 4 cm².
c. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π√5 / 4 cm².
d. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π√5 cm².
e. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025√5 / 2 cm².
PERGUNTA 4
Considere a seguinte situação: um reservatório cilíndrico de uma caneta esferográfica (“tubinho
de tinta”) com 2 milímetros de diâmetro e 12 cm de comprimento.
Se você gastar 5π mm³ de tinta por dia nessas condições, o número de dias que a tinta de sua
caneta esferográfica vai durar é de:
a. 24 dias.
b. 25 dias.
c. 30 dias.
d. 15 dias.
e. 20 dias.
PERGUNTA 5
O cone é um importante sólido geométrico que é estudado na geometria espacial. É
classificado como um corpo redondo ou sólido
de revolução por ter um círculo como base e por ser construído a partir da rotação de um
triângulo. Seus elementos principais
são a geratriz, a altura e o raio da base.
Considerando um cone circular reto em que a geratriz mede 5 cm e cujo comprimento da
circunferência da base mede 6π cm,
assinale a alternativa que apresenta o volume desse cone:
a. 12π cm³.
b. 15π cm³.
c. 22π cm³.
d. 18π cm³.
e. 21π cm³.
PERGUNTA 6
Para embalar seus produtos, uma fábrica usa diferentes tipos de embalagens. Dentre elas duas
têm formato cilíndrico, sendo uma de
raio 4 cm e altura 10 cm e outra de raio 8 cm e altura desconhecida. Sabemos que a
embalagem de raio maior tem volume V1 que é
1,6 maior que a do cilindro mais alto. Qual a medida da altura desconhecida?
a. 3 cm
b. 4 cm
c. 6 cm
d. 5 cm
e. 2 cm
PERGUNTA 7
O cilindro é um sólido geométrico (ou um sólido de revolução) que tem duas bases e uma área
lateral. Suas bases são formadas por dois círculos. Seus principais elementos são as duas
bases, a altura, a área lateral e o raio da base.
Considere um cilindro de raio "r" e altura "h". Se duplicarmos a medida do raio e mantivermos a
medida da altura, o volume desse cilindro vai ser multiplicado por:
a. 4
b. 2
c. 1/4
d. 6
e. 1/2
Minhas respostas:
1. AL = πr g
2. “Chamamos” de elipse. ERRADA
3. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π√5 / 2 cm². ERRADA
4. 24 dias.
5. 12π cm³.
6. 4 cm
7. 4
PERGUNTA 1
Sabemos que é possível construir um cilindro reto (ou cilindro de revolução) a partir de um
retângulo, sendo que sua base (do retângulo) é o raio da base do cilindro, enquanto a sua
altura é a altura do cilindro.
Considerando um cilindro reto de raio da base medindo “r” cm e de altura “h” cm, podemos
afirmar que sua área lateral será calculada por:
a. A_L = 2π r + h cm²
b. A_L = 3π rh cm²
c. A_L = 2π rh cm²
d. A_L = 2π r − h cm²
e. A_L = 3π r + 2h cm²
PERGUNTA 3
Uma máquina de rolo compressor para terraplenagem pode ser utilizada para construção e
reforma de rodovias, na compactação de solo. Assim, suponha que uma dessas máquinas
possui um cilindro de 750 mm, de tal forma que o rolo rodará sobre o solo, compactando-o.
Se a máquina descrita precisar compactar uma via asfáltica, compreendendo um total de 5 km
de via, qual é o valor aproximado de voltas que esse rolo dará para compactar essa via toda?
Nesse caso, utilize π = 3,14.
a. O cilindro dará, aproximadamente, 750 voltas.
b. O cilindro dará, aproximadamente, 10,6157 voltas.
c. O cilindro dará, aproximadamente, 1061,57 voltas.
d. O cilindro dará, aproximadamente, 1,06157 voltas.
e. O cilindro dará, aproximadamente, 106,157 voltas.
PERGUNTA 4
Sabendo que um cone dado tem volume de V= 320π cm³ e raio da base 8 cm, qual é a medida
de sua geratriz?
a. 16 cm
b. 20 cm
c. 18 cm
d. 15 cm
e. 17 cm
PERGUNTA 5
Seja dado um cilindro reto que tem volume de 208 cm³ e raio da circunferência da base
medindo 4 cm. Qual a área da sua superfície lateral?
a. 52π cm²
b. 138π cm²
c. 96π cm²
d. 104π cm²
e. 208π cm²
PERGUNTA 6
O cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da
base é o centro do círculo da base. Ele também é chamado de cone de revolução, por ser
formado pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em volta de um de seus catetos.
Considerando um cone circular reto cuja área lateral mede 24π cm² e cujo comprimento da
circunferência da base mede 8π cm, assinale a alternativa correta que apresenta o volume do
cone em cm³.
a. 35π√3 / 3
b. 40π√3 / 3
c. 30π√3 / 3
d. 20π√3 / 3
e. 32π√5 / 3
Minhas respostas:
1. c. A_L = 2π rh cm²
3. c. O cilindro dará, aproximadamente, 1061,57 voltas.
4. e. 17 cm
5. d. 104π cm²
6. e. 32π√5 / 3
SEMANA 6
PERGUNTA 1
Duas construções geométricas no espaço são a esfera e a superfície esférica, mas, apesar da
construção ser diferente, podemos encontrar alguns elementos semelhantes entre eles, como o
raio, seus centros e sua construção, já que a superfície esférica pode ser encontrada em uma
esfera.
Com base nas informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as
verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) A esfera e a superfície esférica têm raio e centro, mas a superfície esférica diz respeito a
todos os pontos no espaço que a distância tem para o seu centro ser menor ou igual ao raio, já
a esfera equivale aos pontos da distância para o centro, que são estritamente iguais ao raio.
II. ( ) Ao considerar um plano π cortando uma esfera de centro O e raio r, tal que seu centro O
pertenca ao plano = π, então, encontraremos nesse plano π um circulo de raio r e centro O.
III. ( ) Sejam E o conjunto dos pontos que pertencem à esfera de raio r e centro O e SE o
conjunto dos pontos que pertence à superfície esférica de raio r e centro O. Então, E ∩ SE =
SE.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a. V - F - F.
b. V - F - V.
c. F - V - F.
d. F - V - V.
e. F - F - V.
PERGUNTA 2
A superfície esférica é uma figura geométrica espacial que se assemelha à ______ construída
na geometria plana, já que a superfície esférica é constituída por ______ em que ______.Assinale a alternativa que preenche as lacunas anteriores corretamente.
a. Círculo - todos os pontos no espaço que distam r do ponto O - r é o raio da superfície
esférica e O é o seu centro.
b. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r do ponto O - r é o centro da esfera
e O é o seu raio.
c. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r/2 do ponto O - r é o raio da esfera e
O é o seu centro.
d. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r do ponto A - r é o raio da esfera e A
é um ponto pertencente à esfera.
e. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r do ponto O - r é o raio da superfície
esférica e O é o seu centro.
PERGUNTA 3
Dada uma esfera de 25 cm de raio. Sabendo que um plano β secciona essa esfera a uma
distância de 20 cm do seu centro, determine a área da secção obtida pela intersecção.
a. 144π cm²
b. 225π cm²
c. 256π cm²
d. 324π cm²
e. 441π cm²
PERGUNTA 4
No cotidiano, podemos visualizar vários objetos que lembram uma esfera. Podemos citar a bola
de futebol, a melancia, o planeta Terra, de entre outros. Vamos admitir que uma laranja tem o
formato de uma esfera de 3 cm de raio e que a quantidade de suco produzido corresponde a
70% do volume da laranja.
Nessas condições, assinale a alternativa correta que apresenta, no mínimo, o número de
laranjas inteiras que precisaremos para encher completamente um copo com 250 ml. (admita π
= 3).
a. Duas laranjas.
b. Três laranjas.
c. Uma laranja.
d. Quatro laranjas.
e. Cinco laranjas.
PERGUNTA 5
O Fundidor é o profissional responsável por atuar com processos de fundição. Um fundidor
decidiu fundir duas esferas de aço de 5 cm e 9 cm de raio cada, para obter uma esfera maior.
Considerando que não houve perda de matéria-prima nesse processo, qual é a medida,
aproximada, do raio da esfera obtida na fundição?
a. 8,3 cm
b. 9,5 cm
c. 10,7 cm
d. 7,8 cm
e. 11,6 cm
PERGUNTA 6
Dada uma esfera de volume V. Se o raio da esfera aumentar sua medida em 20%, qual a
porcentagem de aumento da área lateral?
a. 22%
b. 24%
c. 44%
d. 20%
e. 40%
PERGUNTA 7
Sabemos que, em uma esfera, ao traçarmos um plano que contém o centro da esfera,
determinamos dois hemisférios. Cada hemisfério pode ser chamado de semiesfera.
Agora, considere um vaso cuja forma é de uma semiesfera de diâmetro 1,2 metros.
Deseja-se encher o vaso com água nessas condições. Assinale a alternativa que apresenta
quantos litros de água esse vaso comporta.
a. 156π litros.
b. 216π litros.
c. 127π litros.
d. 144π litros.
e. 114π litros.
Minhas respostas:
1. d. F - V - V.
2. e. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r do ponto O - r é o raio da
superfície esférica e O é o seu centro.
3. b. 225π cm²
4. d. Quatro laranjas.
5. b. 9,5 cm
6. c. 44%
7. d. 144π litros
SEMANA 7
PERGUNTA 1
Na seção Desafio você estudou que, se um número a > 0 é construtível, então √a também é
construtível.
Para demonstrar esse teorema, partimos da construção de uma circunferência tal que AB = a,
BC = 1 e diâmetro AC. D é ponto de interseção entre a circunferência e a reta perpendicular a
AC passando por B.
[Imagem de uma circunferência com diâmetro AC, pontos B e D sobre a circunferência e um
triângulo retângulo ABD inscrito na circunferência]
Desse modo, ao seguir com a demonstração, temos que:
I - AC = AB + BC
II - BD = √a
III - Podemos justificar a medida de BD pela semelhança entre os triângulos ABD e ADBC.
Considerando essas afirmativas, assinale a alternativa correta.
a. Apenas III está correta.
b. Apenas I está correta.
c. Apenas I e III estão corretas.
d. Apenas II e III estão corretas.
e. Apenas I e II estão corretas
PERGUNTA 2
Observe a trissecção do ângulo de 90° graus a seguir, supondo que o ângulo é formado pelas
semirretas r e s e vértice V.
Passo 1: marca-se o ponto A na semirreta r, distante uma unidade de V.
Passo 2: constrói-se uma reta t perpendicular a r, passando por A.
Passo 3: constrói-se um segmento de reta AB medindo √3 na reta t, de modo que o ponto B
esteja no interior do ângulo de 90°.
Passo 4: desenha-se o segmento de reta VB.
Dessa forma, o ângulo AVB mede 30°.
Passo 5: para finalizar a trissecção, basta construir a bissetriz do ângulo formado pelo
segmento VB e a reta s, que vale 60°.
Assinale a alternativa correta sobre a trissecção do ângulo de 90°.
a. A trissecção está errada, já que √3 não é construtível, o que torna todo o resto uma
construção sobre algo falso.
b. A trissecção está errada, pois o ângulo AVB, encontrado no passo 4, é de 60°, e não como
mostrado na construção.
c. A trissecção está errada, pois o segmento VA construído no passo 1 deve ser de duas
unidades.
d. Todos os elementos apresentados na trissecção do ângulo de 90° estão certos.
e. O ângulo de 90° não pode ser trissecado, já que o valor de cos 90° = 0 não é um número
construtível.
PERGUNTA 3
Vimos que o segundo problema é impossível, já que π não é construtível, mas, e o contrário,
ou seja, construir uma circunferência de raio r, tal que sua área seja igual ao dobro da área do
quadrado de lado x dado.
Em relação ao texto acima e ao que se sabe de números construtíveis e do segundo problema,
assinale a alternativa correta.
a. Esse problema é possível, pois, para construir uma circunferência, precisamos apenas de
seu raio, e não da construção de π.
b. Esse problema é possível, já que o raio do círculo deve ser igual ao lado do quadrado, que já
foi dado.
c. O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento √(2x) / √π,
e já vimos que π não é construtível.
d. O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento √(√2x) / √π,
e não sabemos construir o quociente de duas raízes.
e. O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento x / π , e já
vimos que π não é construtível.
PERGUNTA 4
Sabemos que números construtíveis são aqueles que podem ser construídos a partir de uma
régua não graduada e um compasso. Assim, construímos segmentos de reta, e os números
construtíveis são dados pelas medidas desses segmentos.
Com relação aos números construtíveis e algumas de suas propriedades, analise as
afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas:
I. ( ) Se um número a é algébrico, então, ele é construtível.
II. ( ) Existem números em que o grau do polinômio minimal é de potência 2 e não é
construtível.
III. ( ) O número ∛4 não é construtível, pois seu polinômio minimal é de potência 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a. V - F - V.
b. F - V - V.
c. V - V - F.
d. F - F - V.
e. F - V - F.
PERGUNTA 5
Você estudou os três problemas clássicos nesta semana. A partir disso, analise as sentenças
abaixo e identifique a correta.
a. No problema da quadratura do círculo, partimos de um círculo dado de raio r e queremos
construir (com régua e compasso) um quadrado com lado de medida r.
b. O número π é transcendente, portanto, é construtível.
c. No problema da trissecção do ângulo, partimos de um ângulo β e queremos construir (com
régua e compasso) um ângulo que seja 1/3β.
d. O problema da quadratura do círculo tem solução.
e. No problema da duplicação do cubo, partimos de um cubo dado, de aresta a, e queremos
encontrar o volume do cubo cuja aresta é o dobro de a.
PERGUNTA 6
Usando as ferramentas euclidianas, ou seja, régua sem graduação e compasso, a matemática
se desenvolveu, porém três problemas clássicos da geometria estão abertos até hoje, isto é,
não têm solução.
Assim, podemos afirmar que os três problemas clássicos da geometria são:
a. Trissecção do ângulo, quadratura do círculo e duplicação do cubo.
b. Medida do ângulo, área da esfera e área do cilindro.
c. Duplicação do ângulo, trissecção do círculo e quadratura do cubo.
d. Área do ângulo, comprimento do círculo e perímetro do cubo.
e. Bissecção do ângulo, quadratura do cubo e duplicação do círculo.
Minhas respostas:
1. e. Apenas I e II estão corretas.
2. b. A trissecção está errada, pois oângulo AVB, encontrado no passo 4, é de 60°, e não como
mostrado na construção.
3. c. O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento √(2x) /
√π, e já vimos que π não é construtível.
4. e. F - V - F.
5. c. No problema da trissecção do ângulo, partimos de um ângulo β e queremos construir (com
régua e compasso) um ângulo que seja 1/3β.
6. a. Trissecção do ângulo, quadratura do círculo e duplicação do cubo.