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Observe a trissecção do ângulo de 90° graus a seguir, supondo que o ângulo é formado pelas semirretas r e s e vértice V.

Passo 1: marca-se o ponto A na semirreta r, distante uma unidade de V.

Passo 2: constrói-se uma reta t perpendicular a r, passando por A.

Passo 3: constrói-se um segmento de reta AB medindo √3 na reta t, de modo que o ponto B esteja no interior do ângulo de 90°.

Passo 4: desenha-se o segmento de reta VB.

Dessa forma, o ângulo AVB mede 30°.

Passo 5: para finalizar a trissecção, basta construir a bissetriz do ângulo formado pelo segmento VB e a reta s, que vale 60°.

Assinale a alternativa correta sobre a trissecção do ângulo de 90°.

a. A trissecção está errada, já que √3 não é construtível, o que torna todo o resto uma construção sobre algo falso.
b. A trissecção está errada, pois o ângulo AVB, encontrado no passo 4, é de 60°, e não como mostrado na construção.
c. A trissecção está errada, pois o segmento VA construído no passo 1 deve ser de duas unidades.
d. Todos os elementos apresentados na trissecção do ângulo de 90° estão certos.
e. O ângulo de 90° não pode ser trissecado, já que o valor de cos 90° = 0 não é um número construtível.
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Matematicamente

há 2 anos

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há 2 anos

Atividade Avaliativa Geometria Espacial - Univesp
13 pág.

Atividade Avaliativa Geometria Espacial - Univesp

UNICSUL

Respostas

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há 2 anos

Para analisar a questão sobre a trissecção do ângulo de 90°, vamos considerar as alternativas apresentadas: a) A trissecção está errada, já que √3 não é construtível, o que torna todo o resto uma construção sobre algo falso. - Esta afirmação é verdadeira, pois √3 não é um número construtível com régua e compasso. b) A trissecção está errada, pois o ângulo AVB, encontrado no passo 4, é de 60°, e não como mostrado na construção. - Isso é incorreto, pois o ângulo AVB realmente mede 30°. c) A trissecção está errada, pois o segmento VA construído no passo 1 deve ser de duas unidades. - Isso não é verdade, pois a construção pode ser feita com uma unidade. d) Todos os elementos apresentados na trissecção do ângulo de 90° estão certos. - Isso é falso, já que a construção baseia-se em um número não construtível. e) O ângulo de 90° não pode ser trissecado, já que o valor de cos 90° = 0 não é um número construtível. - Essa afirmação é verdadeira, pois a trissecção de ângulos de 90° é um problema clássico que não pode ser resolvido com régua e compasso. Analisando as opções, a alternativa correta é: a) A trissecção está errada, já que √3 não é construtível, o que torna todo o resto uma construção sobre algo falso.

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Sabemos que o cone reto (ou cone de revolução) é construído a partir de um triângulo retângulo, sendo que um cateto é a altura, enquanto o outro cateto é o raio da base e a hipotenusa é a geratriz. Considerando um cone reto cujas medidas do raio da base, altura e geratriz são, respectivamente, r, h e g, podemos afirmar que para calcular sua área lateral devemos aplicar:

a. AL = πr + 2g
b. AL = 2π + rg
c. AL = πr + g
d. AL = π + rg
e. AL = πr g

Apollônio de Perga, também chamado de “o grande geômetra”, matemático grego, foi o autor do Tratado das seções cônicas, composto de oito livros, que é considerado uma das principais obras científicas da Antiguidade. Sabemos que as cônicas são muito usadas desde sua época (por exemplo, na astronomia e arquitetura) até os dias de hoje. Assim, considere um cone reto e, por esse cone, “passa” um plano paralelo à sua base, de tal forma que esse plano fique entre o vértice e a base do cone. Desse modo, obtemos uma intersecção e, dessa intersecção, obtém-se uma cônica. Como podemos “chamar” (ou denominar) essa cônica obtida?

a. “Chamamos” de parábola.
b. “Chamamos” de cilindro.
c. “Chamamos” de circunferência.
d. “Chamamos” de ponto.
e. “Chamamos” de elipse.

Em certa escola, cada turma tinha um representante, ou seja, um aluno que representaria a turma e os professores perante a sala, durante aquela semana. Uma professora decidiu fazer um chapéu, para que todos pudessem diferenciar esse aluno. O chapéu tinha o formato de um cone, porém, sem a base, já que deveria entrar na cabeça dos alunos. Para fazer o chapéu, a professora usou uma cartolina de 60 cm de largura e 45 cm de largura. Para que o chapéu não ficasse tão alto, a professora decidiu fazê-lo com 45 cm de altura e cortou o chapéu na cartolina de forma que a região cortada fosse igual à largura total da cartolina. Considerando o texto acima, qual deve ser as dimensões máximas desse cone, para que a professora consiga utilizar o máximo da cartolina?

a. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π√5 / 2 cm².
b. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π / 4 cm².
c. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π√5 / 4 cm².
d. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025π√5 cm².
e. A área da cartolina que será usada para o chapéu será de 2025√5 / 2 cm².

Considere a seguinte situação: um reservatório cilíndrico de uma caneta esferográfica (“tubinho de tinta”) com 2 milímetros de diâmetro e 12 cm de comprimento. Se você gastar 5π mm³ de tinta por dia nessas condições, o número de dias que a tinta de sua caneta esferográfica vai durar é de:

a. 24 dias.
b. 25 dias.
c. 30 dias.
d. 15 dias.
e. 20 dias.

O cone é um importante sólido geométrico que é estudado na geometria espacial. É classificado como um corpo redondo ou sólido de revolução por ter um círculo como base e por ser construído a partir da rotação de um triângulo. Seus elementos principais são a geratriz, a altura e o raio da base. Considerando um cone circular reto em que a geratriz mede 5 cm e cujo comprimento da circunferência da base mede 6π cm, assinale a alternativa que apresenta o volume desse cone:

a. 12π cm³.
b. 15π cm³.
c. 22π cm³.
d. 18π cm³.
e. 21π cm³.

Para embalar seus produtos, uma fábrica usa diferentes tipos de embalagens. Dentre elas duas têm formato cilíndrico, sendo uma de raio 4 cm e altura 10 cm e outra de raio 8 cm e altura desconhecida. Sabemos que a embalagem de raio maior tem volume V1 que é 1,6 maior que a do cilindro mais alto. Qual a medida da altura desconhecida?

a. 3 cm
b. 4 cm
c. 6 cm
d. 5 cm
e. 2 cm

O cilindro é um sólido geométrico (ou um sólido de revolução) que tem duas bases e uma área lateral. Suas bases são formadas por dois círculos. Seus principais elementos são as duas bases, a altura, a área lateral e o raio da base. Considere um cilindro de raio "r" e altura "h". Se duplicarmos a medida do raio e mantivermos a medida da altura, o volume desse cilindro vai ser multiplicado por:

a. 4
b. 2
c. 1/4
d. 6
e. 1/2

Sabendo que um cone dado tem volume de V= 320π cm³ e raio da base 8 cm, qual é a medida de sua geratriz?

a. 16 cm
b. 20 cm
c. 18 cm
d. 15 cm
e. 17 cm

Seja dado um cilindro reto que tem volume de 208 cm³ e raio da circunferência da base medindo 4 cm. Qual a área da sua superfície lateral?

a. 52π cm²
b. 138π cm²
c. 96π cm²
d. 104π cm²
e. 208π cm²

O cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro do círculo da base. Ele também é chamado de cone de revolução, por ser formado pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em volta de um de seus catetos. Considerando um cone circular reto cuja área lateral mede 24π cm² e cujo comprimento da circunferência da base mede 8π cm, assinale a alternativa correta que apresenta o volume do cone em cm³.

a. 35π√3 / 3
b. 40π√3 / 3
c. 30π√3 / 3
d. 20π√3 / 3
e. 32π√5 / 3

Com base nas informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.

I. ( ) A esfera e a superfície esférica têm raio e centro, mas a superfície esférica diz respeito a todos os pontos no espaço que a distância tem para o seu centro ser menor ou igual ao raio, já a esfera equivale aos pontos da distância para o centro, que são estritamente iguais ao raio.

II. ( ) Ao considerar um plano π cortando uma esfera de centro O e raio r, tal que seu centro O pertença ao plano = π, então, encontraremos nesse plano π um circulo de raio r e centro O.

III. ( ) Sejam E o conjunto dos pontos que pertencem à esfera de raio r e centro O e SE o conjunto dos pontos que pertence à superfície esférica de raio r e centro O. Então, E ∩ SE = SE.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

a. V - F - F.
b. V - F - V.
c. F - V - F.
d. F - V - V.
e. F - F - V.

A superfície esférica é uma figura geométrica espacial que se assemelha à ______ construída na geometria plana, já que a superfície esférica é constituída por ______ em que ______.

Assinale a alternativa que preenche as lacunas anteriores corretamente.

a. Círculo - todos os pontos no espaço que distam r do ponto O - r é o raio da superfície esférica e O é o seu centro.
b. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r do ponto O - r é o centro da esfera e O é o seu raio.
c. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r/2 do ponto O - r é o raio da esfera e O é o seu centro.
d. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r do ponto A - r é o raio da esfera e A é um ponto pertencente à esfera.
e. Circunferência - todos os pontos no espaço que distam r do ponto O - r é o raio da superfície esférica e O é o seu centro.

Dada uma esfera de 25 cm de raio. Sabendo que um plano β secciona essa esfera a uma distância de 20 cm do seu centro, determine a área da secção obtida pela intersecção.

a. 144π cm²
b. 225π cm²
c. 256π cm²
d. 324π cm²
e. 441π cm²

No cotidiano, podemos visualizar vários objetos que lembram uma esfera. Podemos citar a bola de futebol, a melancia, o planeta Terra, de entre outros. Vamos admitir que uma laranja tem o formato de uma esfera de 3 cm de raio e que a quantidade de suco produzido corresponde a 70% do volume da laranja.

Nessas condições, assinale a alternativa correta que apresenta, no mínimo, o número de laranjas inteiras que precisaremos para encher completamente um copo com 250 ml. (admita π = 3).

a. Duas laranjas.
b. Três laranjas.
c. Uma laranja.
d. Quatro laranjas.
e. Cinco laranjas.

O Fundidor é o profissional responsável por atuar com processos de fundição. Um fundidor decidiu fundir duas esferas de aço de 5 cm e 9 cm de raio cada, para obter uma esfera maior.

Considerando que não houve perda de matéria-prima nesse processo, qual é a medida, aproximada, do raio da esfera obtida na fundição?

a. 8,3 cm
b. 9,5 cm
c. 10,7 cm
d. 7,8 cm
e. 11,6 cm

Dada uma esfera de volume V. Se o raio da esfera aumentar sua medida em 20%, qual a porcentagem de aumento da área lateral?

a. 22%
b. 24%
c. 44%
d. 20%
e. 40%

Sabemos que, em uma esfera, ao traçarmos um plano que contém o centro da esfera, determinamos dois hemisférios. Cada hemisfério pode ser chamado de semiesfera.

Agora, considere um vaso cuja forma é de uma semiesfera de diâmetro 1,2 metros.

Deseja-se encher o vaso com água nessas condições. Assinale a alternativa que apresenta quantos litros de água esse vaso comporta.

a. 156π litros.
b. 216π litros.
c. 127π litros.
d. 144π litros.
e. 114π litros.

Na seção Desafio você estudou que, se um número a > 0 é construtível, então √a também é construtível.

Para demonstrar esse teorema, partimos da construção de uma circunferência tal que AB = a, BC = 1 e diâmetro AC. D é ponto de interseção entre a circunferência e a reta perpendicular a AC passando por B.

Desse modo, ao seguir com a demonstração, temos que:

I - AC = AB + BC

II - BD = √a

III - Podemos justificar a medida de BD pela semelhança entre os triângulos ABD e ADBC.

Considerando essas afirmativas, assinale a alternativa correta.

a. Apenas III está correta.
b. Apenas I está correta.
c. Apenas I e III estão corretas.
d. Apenas II e III estão corretas.
e. Apenas I e II estão corretas

Vimos que o segundo problema é impossível, já que π não é construtível, mas, e o contrário, ou seja, construir uma circunferência de raio r, tal que sua área seja igual ao dobro da área do quadrado de lado x dado.

Em relação ao texto acima e ao que se sabe de números construtíveis e do segundo problema, assinale a alternativa correta.

a. Esse problema é possível, pois, para construir uma circunferência, precisamos apenas de seu raio, e não da construção de π.
b. Esse problema é possível, já que o raio do círculo deve ser igual ao lado do quadrado, que já foi dado.
c. O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento √(2x) / √π, e já vimos que π não é construtível.
d. O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento √(√2x) / √π, e não sabemos construir o quociente de duas raízes.
e. O problema continua sendo impossível, pois precisaríamos construir o segmento x / π , e já vimos que π não é construtível.

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