Problema 34: Um jogador tem 60% de chance de vencer um jogo. Se ele joga 10 vezes, qual é a probabilidade de vencer exatamente 6 vezes?

Para resolver esse problema, podemos usar a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (neste caso, 10), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 6), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (neste caso, 0,6), - \( C(n, k) \) é o coeficiente binomial, que pode ser calculado como \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Agora, vamos calcular: 1. \( n = 10 \) 2. \( k = 6 \) 3. \( p = 0,6 \) Calculando o coeficiente binomial \( C(10, 6) \): \[ C(10, 6) = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 6) = 210 \cdot (0,6)^6 \cdot (0,4)^4 \] Calculando \( (0,6)^6 \) e \( (0,4)^4 \): - \( (0,6)^6 \approx 0,046656 \) - \( (0,4)^4 = 0,0256 \) Agora, multiplicando tudo: \[ P(X = 6) = 210 \cdot 0,046656 \cdot 0,0256 \approx 0,2508 \] Portanto, a probabilidade de vencer exatamente 6 vezes é aproximadamente 0,2508 ou 25,08%.