Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}\)? A) 0 B) -2 C) 1 D) -\(\frac{2}{3}\)

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}\), podemos usar a identidade trigonométrica que diz que \(\cos(2x) - 1 = -2\sin^2(x)\). Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(x)}{x^2} \] Sabemos que \(\frac{\sin(x)}{x} \to 1\) quando \(x \to 0\). Portanto, podemos reescrever \(\sin^2(x)\) como \(\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 x^2\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} -2 \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \] Como \(\frac{\sin(x)}{x} \to 1\), temos: \[ \lim_{x \to 0} -2 \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = -2 \cdot 1^2 = -2 \] Portanto, o valor do limite é: B) -2.