Qual é o valor de \(\int_0^1 (4x^2 - 2x + 1) \, dx\)? A) 1 B) \(\frac{5}{6}\) C) \(\frac{2}{3}\) D) \(\frac{7}{6}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (4x^2 - 2x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(4x^2 - 2x + 1\). 1. A antiderivada de \(4x^2\) é \(\frac{4}{3}x^3\). 2. A antiderivada de \(-2x\) é \(-x^2\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + x \] Agora, vamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - (1)^2 + (1) = \frac{4}{3} - 1 + 1 = \frac{4}{3} \] \[ F(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - (0)^2 + (0) = 0 \] Agora, subtraímos os valores: \[ \int_0^1 (4x^2 - 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) 1 B) \(\frac{5}{6}\) C) \(\frac{2}{3}\) D) \(\frac{7}{6}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{4}{3}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois o valor correto da integral é \(\frac{4}{3}\).