Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^5 - 3x^3 + 2) \, dx\)? A) \(\frac{8}{15}\) B) \(\frac{7}{15}\) C) \(\frac{1}{3}\) D) \(\frac{1}{4}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^5 - 3x^3 + 2) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^5\): \[ \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} \] 2. Integral de \(-3x^3\): \[ \int -3x^3 \, dx = -\frac{3x^4}{4} \] 3. Integral de \(2\): \[ \int 2 \, dx = 2x \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^5 - 3x^3 + 2) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{3x^4}{4} + 2x \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{1^6}{6} - \frac{3 \cdot 1^4}{4} + 2 \cdot 1 \right] - \left[ \frac{0^6}{6} - \frac{3 \cdot 0^4}{4} + 2 \cdot 0 \right] \] Calculando: \[ = \left[ \frac{1}{6} - \frac{3}{4} + 2 \right] - [0] \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar: O denominador comum entre \(6\) e \(4\) é \(12\): \[ = \left[ \frac{2}{12} - \frac{9}{12} + \frac{24}{12} \right] \] \[ = \frac{2 - 9 + 24}{12} = \frac{17}{12} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{17}{12}\). Como essa resposta não está entre as opções, parece que houve um erro na interpretação ou no cálculo. Vamos revisar as opções: A) \(\frac{8}{15}\) B) \(\frac{7}{15}\) C) \(\frac{1}{3}\) D) \(\frac{1}{4}\) Nenhuma das opções corresponde ao resultado obtido. Você pode verificar se a função ou os limites da integral estão corretos? Se precisar de mais ajuda, você tem que criar uma nova pergunta.