lista_matrizes (1)

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Departamento de Matemática
GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Exercícios: Matrizes
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
1. Sejam
A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[
−2 0 1
3 0 1
]
, C =


−1
2
4

 e D =
[
2 −1
]
Encontre:
(a) A + B
(b) A · C
(c) B · C
(d) C · D
(e) D · A
(f) D · B
(g) −A
(h) −D
2. Determinar a matriz AT transposta da matriz
A =


2 4 3 −5
1 −7 0 −2
8 −9 6 −4


3. Dadas A =


1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1

, B =


1 4 1 0
2 1 1 1
1 −2 1 2

 e C =


2 1 −1 −2
3 −2 −1 −1
2 −5 −1 0

,
mostre que AB = AC.
4. Dadas as matrizes:
A =




5 0 6
−8 0 3
−2 2 7
1 −1 −5




, B =


1 −3 −2 4
7 8 5 9
0 6 3 −8

 ,C =


2 3 0
1 1 −8
3 5 4

 ,D =




5 0 3 2
−8 1 −2 4
−3 2 1 −5
0 1 0 2




Calcular:
(a) (AB)T
(b) (AB)DT
(c) A(BDT )
(d) BTC
(e) 2(ATBT ) + 3CT
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) (−A)′ = −(A′)
(b) (A + B)′ = B′ + A′
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB
(e) (−A)(−B) = −(AB)
(f) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA.
(g) Se AB = 0, então BA = 0.
(h) Se podemos efetuar o produto A · A, então A é uma matriz quadrada.
6. Suponha que A 6= 0 e AB = AC onde A,B e C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.
(a) B = C?
(b) Se existir uma matriz Y, tal que YA = I, onde I é a matriz identidade, então B = C?
7. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno mediterrâneo e colonial. A
quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
[ ]Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quanta unidades de cada material serão empregadas?
(b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam ,respec-
tivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
(c) Qual o custo total do material empregado?
8. Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo de mon-
tagem e outro de acabamento. O tempo necessário para esses processos é dado (em horas) pela
matriz
A =
Montagem Acabamento
[ ]
2 2 Cadeira
3 4 Mesa
O fabricante te uma fábrica em Salt Lake City e outra em Chicago. As taxas por hora para cada
um dos processos são dadas (em dólares) pela matriz
B =
Salt Lake City Chicago
[ ]
9 10 Montagem
10 12 Acabamento
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?
9. Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de duas fábricas, X e Y . Ao
fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outroa materiais
poluentes. As quantidades de poluente produzidas são dadas (em quilos) pela matriz
A =
Dióxido de enxofre Óxido nítrico Partículas
[ ]
300 100 150 Produto P
200 250 400 Produto Q
Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes. O custo diário para remover cada quilo
de poluente ´dado (em dólares) pela matriz
B =
Fábrica X Fábrica Y
[ ]8 12 Dióxido de enxofre
7 9 Óxido nítrico
15 10 Partículas
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?
10. Descreva todas as possíveis matrizes 2× 2, que estão na forma escada reduzida por linhas.
11. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas, calcule o posto e a nulidade.
(a)


1 −2 3 −1
2 −1 2 3
3 1 2 3

 (b)


0 1 3 −2
2 1 −4 3
2 3 2 −1


(c)




0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1




12. Explique porque a nulidade de uma matriz nunca é negativa.
13. Dada A =




2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4




, calcule
(a) A23 (b) |A23| (c) ∆23 (d) detA
14. Calcule cada um dos determinantes a seguir.
(a)
∣
∣
∣
∣
3 5
−2 −3
∣
∣
∣
∣
(b)
∣
∣
∣
∣
5 −2
−8 −4
∣
∣
∣
∣
(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 1 2
2 4 5
2 4 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(d)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4 3 0
3 1 2
5 −1 −4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(e)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 3 2
4 1 −2
2 1 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(f)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 −1 2
1 3 2
5 1 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(g)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 0 1
0 1 0 0
1 6 2 0
1 1 −2 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(h)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 1 1 1
3 0 1 1
−1 2 −2 1
−3 3 3 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
15. Dadas as matrizes A =
[
1 2
1 0
]
e B =
[
3 −1
0 1
]
, calcule
(a) detA + detB (b) det(A + B)
16. Sejam A e B matrizes n× n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falas.
(a) det(AB) = det(BA)
(b) det(A′) = detA
(c) det(2A) = 2 detA
(d) det(A2) = (detA)2
(e) detAij < detA
(f) Se A é uma matriz 3× 3, então a11∆11 + a12∆12 + a13∆13 = a21∆21 + a22∆22 + a23∆23
17. Mostre que o valor do determinante independe de θ.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
sen θ cos θ 0
− cos θ sen θ 0
sen θ − cos θ sen θ + cos θ 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
18. Mostre que det


1 1 1
a b c
a2 b2 c2

 = (a− b)(b− c)(c− a)
19. Resolver as equações:
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4 6 x
5 2 −x
7 4 2x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −128
(b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 5 7
2x x 3x
4 6 7
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 39
(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
5 1 3
3x 0 1
7x 2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 100
(d)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x+ 3 x+ 1 x+ 4
4 5 3
9 10 7
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −7
(e)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
12− x 1 1
18− 2x 3 2
15− 2x 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 10
(f)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 x− 1
1 1 x− 2
2 1 x− 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
(g)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 x 2
1 1 x
1 1 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3
(h)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 6 2
4 x 2
2x 8 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
20. Calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
(a) A =
[
3 5
1 2
]
(b) B =


−3 4 −5
0 1 2
3 −5 4


(c) C =




1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1




(d) D =


1 0 −2
2 −2 −2
−3 0 2


(e) E =


−4 0 −10
−2 −4 −4
2 −2 6


(f) F =


−3 −6 −12
0 3 −3
−6 −9 −24


(g) G =


−1 10 −7
−1 −4 3
1 −2 1


(h) H =


2 2 2
3 4 7
1 2 5


(i) J =


−1 −2 −3
−2 −4 −5
−3 −5 −6


(j) L =


−3 −1 −3
2 −4 −1
−1 −2 −2


(k) M =


−1 0 0
−1 −1 0
−1 −1 −1


(l) N =


1 −2 −4
−2 −1 2
3 0 −5


(m) P =


0 2 −1
1 4 −2
−1 −7 3


(n) Q =


−1 −1 −1
−3 −3 −4
−3 −4 −3


(o) R =


2 0 0
0 3 0
0 0 7


(p) S =


0 0 5
0 6 0
9 0 0


(q)




−1 2 0 −8
0 −1 2 1
0 0 −1 1
0 0 0 −1




21. Calcular o valor de k para que a matriz
A =
[
2 3
6 k
]
não tenha inversa.
22. Encontre todos os valores de a para os quais a inversa de
A =


1 1 0
1 0 0
1 2 a


existe. Calcule A−1 nesses casos.
23. Prove que: Uma matriz A, com ordem n, tem posto n se, e somente se, A é inversível.
Respostas
1.
2. AT =




2 1 8
4 −7 −9
3 0 6
−5 −2 −4




3.
4.
5. (a) V (b) V (c) F (d) V (e) F (f) F (g) F (h) V
6.
7. (a) [146 526 260 158 388]
(b)


492
528
465


(c) 11736,00
8.
9.
10.
11. (a)


1 0 0 −4
0 1 0 −3
0 0 1 −1

 (b)


1 0 −7
2
5
2
0 1 3 −2
0 0 0 0


(c)




1 0 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0




12.
13.
14. (a) 1 (b) 4 (c) 0 (d) 58 (e) -39 (f) 0 (g) 8 (h) 20
15.
16. (a) V (b) V (c) F (d) V (e) F (f) V
17. O determinante é igual a sen2 θ + cos2 θ = 1.
18.
19. (a) x = 2
(b) x = 3
(c) x = 5
(d) x = 1
(e) x = 7
(f) x = −1
(g) x = 5 e x = 3
(h) x = 4
20. (a) A−1 =
[
2 −5
−1 3
]
(b) B−1 =


−14
3
−9
3
−13
3
−2 −1 −2
1 1 1


(c) C−1 =




1 0 0 0
−2 1 0 0
1 −2 1 0
0 1 −2 1




(d) D−1 =


−1
2
0 −1
2
1
4
−1
2
−1
4
−3
4
0 −1
4


(e) E−1 =


−4 5
2
−5
1
2
−1
2
1
2
3
2
−1 2


(f) F−1 =


11
3
4
3
−2
−2
3
0 1
3
−2
3
−1
3
1
3


(g) G−1 =


−1
2
−1 −1
2
−1 −3
2
−5
2
3
2
−2 −7
2


(h) H não tem inversa
(i) J−1 =


−1 3 −2
3 −3 1
−2 1 0


(j) L−1 =


6 4 −11
5 3 −9
−8 −5 14


(k) M−1 =


−1 0 0
1 −1 0
0 1−1


(l) N−1 =


5 −10 −8
−4 7 6
3 −6 −5


(m) P−1 =


−2 1 0
−1 −1 −1
−3 −2 −2


(n) Q−1 =


−7 1 1
3 0 −1
3 −1 0


(o) R−1 =


1
2
0 0
0 1
3
0
0 0 1
7


(p)


0 0 1
9
0 1
6
0
1
5
0 0


(q)




−1 −2 −4 2
0 −1 −2 −3
0 0 −1 −1
0 0 0 −1




21.
22.
23.