Exercício de Algebra Linear (87)

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e) H ▹G
T39) Consideremos x =
[
0 −1
1 0
]
e y =
[
0 1
−1 −1
]
dois elementos de G = GL2(�)
e H = [y] como sendo o grupo gerado pelo y:
H =
{[
1 0
0 1
]
,
[
0 1
−1 −1
]
,
[
−1 −1
1 0
]
,
}
.
O que podemos afirmar a respeito de H e das classes xH e Hx?
a) Que xH , Hx e, consequentemente, H é um subgrupo normal em G
b) Que xH = Hx e, consequentemente, H não é um subgrupo normal em G
c) Que xH , Hx e, consequentemente, H não é um subgrupo normal em G
d) Que xH = Hx e, consequentemente, H é um subgrupo normal em G
e) Que xH = Hx e, consequentemente, xH é um subgrupo normal em G
T40) Se f : G −→ J for um homomorfismo de grupos e N = N( f ), então podemos
afirmar que
a) G/N = J/N
b) N ▹G
c) N ▹ J
d) G/N ≃ J
e) J/N ≃ G
T41) Sejam G = GL2(�) o conjunto de todas as matrizes reais 2 × 2 invertı́veis e
S ⊂ G o conjunto de todas as matrizes reais 2 × 2 com determinante igual a 1. É
possı́vel mostrar que:
• φ : (G, ·) −→ (�∗, ·), φ(X) = det(X) é um homomorfismo de grupos;
• N( f ) = S ;
• φ é sobrejetora.
O que se pode concluir a partir daı́?
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