ensino para todos XXXVI

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Explicação: Pela fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada é \(e^{x^2}\). 
 
5. Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x) = \ln(x)\) no ponto \(x = 1\)? 
 - a) \(y = x - 1\) 
 - b) \(y = x\) 
 - c) \(y = x + 1\) 
 - d) \(y = \ln(x) - 1\) 
 
 **Resposta: a) \(y = x - 1\)** 
 Explicação: A derivada de \(\ln(x)\) é \(\frac{1}{x}\). No ponto \(x = 1\), a derivada é 1, então 
a equação da tangente é \(y = x - 1\). 
 
6. Qual é o valor da integral \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\)? 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) 2 
 - d) -2 
 
 **Resposta: a) 0** 
 Explicação: A integral de \(\sin(x)\) de \(0\) a \(\pi\) é \([- \cos(x)]_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 0\). 
 
7. Qual é a integral indefinida de \(\frac{1}{x^2}\)? 
 - a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
 - b) \(\frac{1}{x} + C\) 
 - c) \(-\frac{1}{x^2} + C\) 
 - d) \(\frac{1}{x^2} + C\) 
 
 **Resposta: a) \(-\frac{1}{x} + C\)** 
 Explicação: A integral de \(\frac{1}{x^2}\) é \(-\frac{1}{x} + C\). 
 
8. Qual é o valor da derivada de \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\) em \(x = 2\)? 
 - a) 3 
 - b) 2 
 - c) 1 
 - d) 0 
 
 **Resposta: a) 3** 
 Explicação: Usando a regra do quociente, a derivada é \(\frac{(2x \cdot (x - 1) - (x^2 + 1))}{(x - 
1)^2}\), avaliando em \(x = 2\) dá 3. 
 
9. Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}\)? 
 - a) 0 
 - b) \(\infty\) 
 - c) 1 
 - d) \(-\infty\) 
 
 **Resposta: b) \(\infty\)** 
 Explicação: O exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio, então o limite é 
\(\infty\). 
 
10. Qual é a integral de \(\int e^{-x^2} \, dx\)? 
 - a) \(\text{Não existe uma antiderivada expressa em termos de funções elementares}\) 
 - b) \(\sqrt{\pi}\) 
 - c) \(-e^{-x^2}\) 
 - d) \(\frac{e^{-x^2}}{x}\) 
 
 **Resposta: a) \(\text{Não existe uma antiderivada expressa em termos de funções 
elementares}\)** 
 Explicação: A integral de \(e^{-x^2}\) não tem uma antiderivada expressa em termos de 
funções elementares. 
 
11. Qual é a integral definida \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\)? 
 - a) \(\frac{e - 1}{2}\) 
 - b) \(\frac{e}{2}\) 
 - c) \(\frac{e - 1}{2}\) 
 - d) \(e - 1\) 
 
 **Resposta: a) \(\frac{e - 1}{2}\)** 
 Explicação: Usando a substituição \(u = x^2\), a integral se torna \(\frac{1}{2} (e - 1)\). 
 
12. Qual é a fórmula da série de Taylor para \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\)? 
 - a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) 
 - b) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\) 
 - c) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\) 
 - d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}\) 
 
 **Resposta: a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)** 
 Explicação: A série de Taylor para \(\sin(x)\) é dada por \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n+1}}{(2n+1)!}\). 
 
13. Qual é a derivada de \(f(x) = \cos^2(x)\)? 
 - a) \(-2 \cos(x) \sin(x)\) 
 - b) \(-\cos^2(x)\) 
 - c) \(-2 \cos(x)\) 
 - d) \(2 \cos(x) \sin(x)\) 
 
 **Resposta: a) \(-2 \cos(x) \sin(x)\)** 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = 2 \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -2 \cos(x) 
\sin(x)\). 
 
14. Qual é o valor de \(\int_1^2 \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\)? 
 - a) \(\ln(\ln(2))\) 
 
 
 - b) \(\ln(\ln(2) - \ln(\ln(1)))\)