Álgebras de Lie

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1. O que é uma álgebra de Lie?
a) Um conjunto de números reais com operações de adição e multiplicação
b) Um conjunto de vetores com uma operação de produto escalar
c) Um espaço vetorial equipado com uma operação bilinear não associativa chamada
produto de Lie
d) Um espaço vetorial com uma operação de adição e subtração
Resposta correta: c) Um espaço vetorial equipado com uma operação bilinear não
associativa chamada produto de Lie
Explicação: Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial com uma operação bilinear
chamada produto de Lie, que não é associativa e obedece à identidade de Jacobi.
2. Qual é a condição fundamental que caracteriza a operação de Lie em uma álgebra
de Lie?
a) A operação é comutativa
b) A operação é associativa
c) A operação satisfaz a identidade de Jacobi
d) A operação é distributiva
Resposta correta: c) A operação satisfaz a identidade de Jacobi
Explicação: A operação de Lie deve satisfazer a identidade de Jacobi, que é uma
condição importante para a estrutura de álgebra de Lie, ou seja,
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.
3. O que é o "produto de Lie" de dois elementos
x e
y de uma álgebra de Lie?
a) A soma de
x e
y
b) O produto escalar de
x e
y
c) Uma operação bilinear não comutativa, denotada por
[x,y]
d) A multiplicação direta de
x e
y
Resposta correta: c) Uma operação bilinear não comutativa, denotada por
[x,y]
Explicação: O produto de Lie de dois elementos
x e
y em uma álgebra de Lie é uma operação bilinear e não comutativa, que é denotada
por
[x,y].
4. Qual das seguintes alternativas é uma propriedade das álgebras de Lie?
a) A operação de produto de Lie é comutativa
b) O produto de Lie de qualquer elemento com ele mesmo é zero:
[x,x]=0
c) As álgebras de Lie não possuem espaço vetorial subjacente
d) A operação de produto de Lie é associativa
Resposta correta: b) O produto de Lie de qualquer elemento com ele mesmo é zero:
[x,x]=0
Explicação: Uma propriedade importante de álgebras de Lie é que o produto de Lie de
qualquer elemento com ele mesmo é sempre igual a zero, ou seja,
[x,x]=0.
5. O que caracteriza uma álgebra de Lie simples?
a) A álgebra de Lie não possui subálgebras ideais não-triviais
b) A álgebra de Lie é comutativa
c) A álgebra de Lie tem um espaço vetorial de dimensão finita
d) A álgebra de Lie possui uma base ortonormal
Resposta correta: a) A álgebra de Lie não possui subálgebras ideais não-triviais
Explicação: Uma álgebra de Lie simples é aquela que não possui subálgebras ideais
não-triviais (ou seja, seus únicos ideais são o trivial e a própria álgebra).
6. Qual é a relação entre uma álgebra de Lie e um grupo de Lie?
a) A álgebra de Lie é uma versão finita do grupo de Lie
b) A álgebra de Lie está associada ao grupo de Lie e descreve suas propriedades locais
c) Não há relação entre álgebra de Lie e grupo de Lie
d) O grupo de Lie é uma versão vetorial do álgebra de Lie
Resposta correta: b) A álgebra de Lie está associada ao grupo de Lie e descreve suas
propriedades locais
Explicação: A álgebra de Lie de um grupo de Lie é o espaço tangente à identidade do
grupo e descreve as propriedades locais do grupo, particularmente em torno da
identidade.
7. O que é um ideal de uma álgebra de Lie?
a) Um subconjunto de uma álgebra de Lie que é fechado sob a operação de adição
b) Um subconjunto de uma álgebra de Lie que é fechado sob o produto de Lie e é
invariável sob conjugação
c) Um subgrupo do grupo de Lie associado à álgebra
d) Uma subvariedade da álgebra de Lie
Resposta correta: b) Um subconjunto de uma álgebra de Lie que é fechado sob o
produto de Lie e é invariável sob conjugação
Explicação: Um ideal de uma álgebra de Lie é um subespaço vetorial que é fechado sob
o produto de Lie e é invariável sob conjugação com outros elementos da álgebra.
8. O que é a identidade de Jacobi em uma álgebra de Lie?
a) A condição que garante que o produto de Lie é comutativo
b) A condição que garante que o produto de Lie é associativo
c) A identidade que define a relação entre três elementos de uma álgebra de Lie:
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0
d) A identidade que garante que o produto de Lie de um elemento consigo mesmo é
zero
Resposta correta: c) A identidade que define a relação entre três elementos de uma
álgebra de Lie:
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0
Explicação: A identidade de Jacobi é uma condição que deve ser satisfeita por qualquer
álgebra de Lie e define uma relação entre três elementos da álgebra.
9. Qual é o nome da álgebra de Lie associada ao grupo de Lie
SL(2,R)?
a) Álgebra de Lie
su(2)
b) Álgebra de Lie
gl(2,R)
c) Álgebra de Lie
sl(2,R)
d) Álgebra de Lie
so(3)
Resposta correta: c) Álgebra de Lie
sl(2,R)
Explicação: O grupo de Lie
SL(2,R) é associado à álgebra de Lie
sl(2,R), que consiste nas matrizes
2×2 com determinante igual a 1.
10. O que é uma álgebra de Lie semissimple?
a) Uma álgebra de Lie que pode ser decompositada como uma soma direta de álgebras
de Lie simples
b) Uma álgebra de Lie que possui um ideal não-trivial
c) Uma álgebra de Lie que é comutativa
d) Uma álgebra de Lie com um número finito de elementos
Resposta correta: a) Uma álgebra de Lie que pode ser decompositada como uma soma
direta de álgebras de Lie simples
Explicação: Uma álgebra de Lie semissimple é aquela que pode ser decompositada em
uma soma direta de álgebras de Lie simples, sem ideais abertos não-triviais.