Calculo2 Lista1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE MATEMA´TICAS
CA´LCULO II
LISTA 1
1. Se existem ε > 0 e k ∈ N tais que ε ≤ xn ≤ nk para todo n su-
ficientemente grande, mostre que lim
n→∞
n
√
xn = 1. Use isto para calcular
lim
n→∞
n
√
n + k, lim
n→∞
n
√
n
√
n, lim
n→∞
n
√
log n e lim
n→∞
n
√
n log n.
2. Prove que, para todo a ∈ R, a se´rie a2 + a
2
1 + a2
+
a2
(1 + a2)2
+ · · · e´ convergente
e calcule sua suma.
3. Se
∑
a2n e
∑
b2n convergem, prove que
∑
anbn converge absolutamente.
4. Prove que se lim
n→∞
n
√
|an| = L enta˜o as series de poteˆncias
∞∑
n=0
anx
2n e
∞∑
n=0
anx
2n+1 tem raio de convergeˆncia igual a
1√
L
.
5. Prove que a func¸a˜o f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n 1
(n!)2
(x
2
)2n
esta´ bem definida para todo
x ∈ R e que f ′ + f
′
x
+ f = 0 para todo x 6= 0.
6. Dada uma se´rie de poteˆncias
∑
anx
n, sejam c > 0 e M > 0 tais que |ancn| ≤M
para todo n ∈ N. Prove que (−c, c) esta´ contido no intrevalo de convergeˆncia
da se´rie considerada.
7. Mostre a fo´rmula de Euler: eix = cosx + i sinx, usando se´ries.
8. Calcule:
∞∑
n=1
1
n2
,
∞∑
n=1
(−1)n 1
n
.
9. Seja p 6= 0 e a func¸a˜o f(x) = (x + 1)p com x + 1 > 0. Suponha que tem um
desarrollo em se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
anx
n. Mostre que:
a. an+1 =
(
p− n
n + 1
)
an, para n ≥ 0.
b. a0 = 1 e an =
p(p− 1)(p− 2) · · · (p− n + 1)
n!
, para n ≥ 1.
c. a se´rie converge e tem raio de convergeˆncia 1.
d. f(x) = 1 + px +
p(p− 1)
2!
x2 +
p(p− 1)(p− 2)
3!
x3 + · · ·, para x ∈ (−1, 1)
Esta se´rie e´ chamada a Se´rie Binomial; encontre o desarrollo em se´rie de
1
3
√
2x + 1
e seu raio de convergeˆncia.