1a+lista++ÁLG +LINEAR

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE CEUMA - UniCEUMA 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
PROF. DR. RAIMUNDO LUNA NERES 
2017 – 1 
 
 
1) Resolver o sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss 
(escalonamento). {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 4
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 10
𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 + 10𝑡 = 20
𝑥 + 4𝑦 + 10𝑧 + 20𝑡 = 35
 
 
2) Encontre um sistema de duas equações lineares nas variáveis x e y, cujo conjunto 
solução seja dado pelas equações paramétricas 𝑥 = 𝑡 𝑒 𝑦 = 2 − 3𝑡. 
 
3) Resolver o sistema {
𝑡𝑔𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑦 = 2
𝑡𝑔𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 = 2
 𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑧 = −1
 
 
4) Três proprietários de casas: um pedreiro, um eletricista e um hidráulico, pretendem 
fazer consertos em suas casas. Eles concordam trabalhar um total de dias cada um, de 
acordo com a tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Eles acertaram entre si que seus salários por dia deveria ser pago, mesmo 
trabalhando em sua própria casa e que o total pago por dia fosse de aproximadamente, R$ 
100,00, entretanto resolveram ajustar os seus salários de tal modo que ao final dos dias 
trabalhados recebessem por dia de acordo com a profissão de cada um. Ou seja, o total dos 
gastos deveria ser aproximadamente, igual ao total do recebido. 
 Sugestão para a 1ª equação: 
 2p + 1e + 6h = 10p. 
Em que 2p + 1e + 6h representa o total que o pedreiro paga pelos consertos em sua própria 
casa. 10p representa o total que o pedreiro recebe pelos consertos que faz nas três casas. 
 Qual o salário aproximado de cada profissional ao final de um dia de trabalho? 
 
5) No 𝑅2 consideremos os vetores 𝑢 = (1,1), 𝑣 = (3, −2) 𝑒 𝑤 = (3, −2). Resolver o 
sistema de equações, {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑢
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝑣
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 𝑤
 , nas incógnitas x, y e z do 𝑅2. 
 
 
Trabalho executado pelo 
Dias de trabalho na casa do: Pedreiro Eletricista Hidráulico 
Pedreiro -p 2 1 6 
Eletricista - e 4 4 2 
Hidráulico - h 4 5 2 
 
6) No nordeste do Brasil, durante anos observa-se que quando chove bastante durante 
um ano, a probabilidade de que chova bastante no ano seguinte é de 
3
4
, e que a 
probabilidade de que faça seca é de 
1
4
. Se num ano houver seca, a probabilidade de 
haver seca ou chuva no ano seguinte será a mesma, de 
1
2
 . Consideremos que as 
probabilidades a longo prazo sejam dadas por: 
 
(
𝑃𝑐
𝑃𝑠
) = (
1
4
 
1
2
3
4
 
1
2
) (
𝑃𝑐
𝑃𝑠
). Considere também que 𝑃𝑐 + 𝑃𝑠 = 1. Calcule a 
probabilidade, a longo prazo, de um ano de seca e de um ano de chuva. Interprete sua 
resposta. 
 
 
 
7) Discutir o sistema linear em função de “ a “ : {
𝑎𝑥 + 2𝑦 = 6
3𝑥 − 𝑦 = −2
𝑥 + 𝑦 = 0
 , 
 
8) Para quaisquer que sejam as matrizes reais A, B e C de ordem n. Sempre teremos: 
 
 a) 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐴 b) 𝐴 ∙ 𝐵 = 1 c) 𝐴 = −𝐵 
 d) 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 e) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 
 
9) Dadas as matrizes: 𝐴 = (
2 1
1 0
0 1
) e 𝐵 = (
1 0 1
0 1 1
) podemos afirmar que: 
a) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴; b) 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴 c) 𝐵𝐴 = (
2 2
1 1
) 
d) 𝐴𝐵 = (
2 2
1 1
) ; e) 𝐴𝐵 = (
2 1 3
1 0 1
) 
 
10) A inversa da matriz 𝐴 = (
8 5
3 2
) é: 
𝑎) (
2 3
5 8
) b) (
−2 −3
 5 8
) c) (
2 5
−3 8
) 
d) (
2 3
5 −8
) e) (
 2 −5
−3 8
) 
 
11) Seja A = ( 2 𝑥
2
2𝑥 − 1 0
). Encontre o valor de x sabendo-se que 𝐴𝑡 = 𝐴. 
 
12) Calcular a inversa da matriz A = (
1 0 2
3 2 1
−1 3 0
) caso exista 
 
13) Verificar se é possível encontrar matrizes que comutam com a matriz A=(
2 0
0 −1
). 
Se for possível, der exemplo de pelo menos duas matrizes. 
 
14) Uma matriz quadrada A, se diz NIHILPOTENTE se existir um número “n” positivo 
tal que 𝐴𝑛 = 0. Baseado nessa definição verificar se a matriz A=(
1 −1 1
−3 3 −3
−4 4 −4
) é 
Nihilpotente. 
 
15) Dada a matriz A=(
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0
0 0 1
) verificar se A é ortogonal. 
 
16) Quais das equações são lineares 
 
a) 𝑥𝑦 + 2𝑧 = 2𝑡; 
b) √2𝑥 + 3𝑦 = 5; 
c) √2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1; 
d) √2𝑥 +
𝜋
3
𝑦 − (𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
) 𝑧 = 1; 
e) 3,2𝑥 + 2,5𝑦 − 4,6𝑧 = √15
3
. 
f) 
2
𝑥
+ 𝑦 = 3. 
 
 
 
 
“Por favor você poderia me dizer”, 
por onde eu deveria seguir daqui?” 
 “Isso depende muito de aonde 
você pretende chegar”, disse o Gato. 
(Lewis Caroll, 
Aventuras de Alice no 
Pais das Maravilhas)