Lista 9 Dependência e independência linear

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Lista 9 de EDO - Dependeˆncia e independeˆncia linear
Profa. Karen Carrilho
Questa˜o 1 Nos itens abaixo, determine (sem usar o Wronskiano) se as func¸o˜es dadas sa˜o linearmente
independentes ou linearmente dependentes em (−∞,∞).
a) f1(x) = x, f2(x) = x
2, f3(x) = 4x− 3x2
b) f1(x) = 5, f2(x) = cos
2(x), f3(x) = sen
2(x)
c) f1(x) = x, f2(x) = x− 1, f3(x) = x+ 3
d) f1(x) = 2 + x, f2(x) = 2 + |x|
e) f1(x) = cos(2x), f2(x) = 1, f3(x) = cos
2(x)
Questa˜o 2 Nos itens abaixo, mostre, calculando o Wronskiano, que as func¸o˜es dadas sa˜o linearmente
independentes no intervalo indicado.
a) x1/2, x2; (0,∞)
b) ex, e−x, e4x; (−∞,∞)
c) 1 + x, x3; (−∞,∞)
d) tan(x), cotan(x); (0, pi/2)
e) sen(x), cosec(x); (0, pi)
Questa˜o 3 a) Verifique que y = 1/x e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial na˜o-linear y′′ = 2y3 no
intervalo (0,∞).
b) Mostre que um mu´ltiplo y = c/x na˜o e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o quando c 6= 0,±1.
Questa˜o 4 a) Verifique que y1 = 1 e y2 = ln(x) sa˜o soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial na˜o-linear
y′′ + (y′)2 = 0 no intervalo (0,∞).
b) y1 + y2 e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o? c1y1 + c2y2, c1 e c2 constantes arbitra´rias, e´ uma soluc¸a˜o
para a equac¸a˜o?
Questa˜o 5 Nos intens abaixo, verifique que as func¸o˜es dadas formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es
para a equac¸a˜o diferencial dada no intervalo indicado.
a) y′′ − y′ − 12y = 0; e−3x, e4x, (−∞,∞)
b) y′′ − 2y′ + 5y = 0; ex cos(2x), ex sen(2x), (−∞,∞)
c) 4y′′ − 4y′ + y = 0; ex/2, xex/2, (−∞,∞)
d) x2y′′ − 6xy′ + 12y = 0;x3, x4, (0,∞)
e) x2y′′ + xy′ + y = 0; cos(ln(x)), sen(ln(x)), (0,∞)
f) y(4) + y′′ = 0; 1, x, cos(x), sen(x), (−∞,∞)
Questa˜o 6 Nos intens abaixo, verifique que a dada famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸a˜o e´ a soluc¸a˜o geral
para a EDO dada no intervalo indicado.
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a) y′′ − 7y′ + 10y = 0; y = c1e2x + c2e5x, (−∞,∞)
b) y′′ − y = 0; y = c1 sen(x) + c2 cos(x), (−pi/2, pi/2)
c) y′′ − 4y′ + 4y = 0; y = c1e2x + c2xe2x, (−∞,∞)
d) 2x2y′′ + 5xy′ + y = 0; y = c1x−1/2 + c2x−1, (0,∞)
Bons estudos!
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