Números Complexos e Equações Diferenciais

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INDICES
NUMEROS COMPLEXOS ---------------------------------------------------------------------- 5
Definição --------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Adição de números complexos -------------------------------------------------------------------- 5
Subtração de números complexos----------------------------------------------------------------- 6
Multiplicação de números complexos ----------------------------------------------------------- 6
Divisão de números complexos ------------------------------------------------------------------- 7
Argumento e módulo de um número complexo ------------------------------------------------ 7
Argumento de Z ------------------------------------------------------------------------------------ 8
Módulo de Z ---------------------------------------------------------------------------------------- 8
Forma trigonométrica de um número complexo----------------------------------------------- 8
Produto de números complexos na forma polar------------------------------------------------ 9
Potência de um número complexo --------------------------------------------------------------- 9
Exemplo -------------------------------------------------------------------------------------------- 10
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA------------------------------------------------ 10
Definição ------------------------------------------------------------------------------------------- 10
EXEMPLOS PRÁTICOS ------------------------------------------------------------------------ 11
Exercício utilizando conceitos de cálculo envolvendo números complexos--------------- 11
Exercício envolvendo taxas de variação ------------------------------------------------------- 13
POLINÔMIOS DE TAYLOR----------------------------------------------------------------- 13
Exemplo ------------------------------------------------------------------------------------------ 14
Série de Fourier --------------------------------------------------------------------------------- 15
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA --------------------------------------------------------- 17
NUMEROS COMPLEXOS
Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar i= √-1.
Definição
Quando vamos solucionar equações do tipo x2+1=0, nos deparamos com x=±√-1. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação i2=−1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x=±i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.
Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma
z=a+bi, a,b∈R
Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica.
Adição de números complexos
A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
Exemplo:
Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será:
z1+z2=(3+5)+(2−3)i
z1+z2=8−i
Subtração de números complexos
A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma:
z1−z2=(a+bi)−(c+di)
z1−z2=(a−c)+(b−d)i
Exemplo:
Se z1=7+10i e z2=3+6i a diferença será:
z1−z2=(7−3)+(10−6)i
z1−z2=4−4i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma:
z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)
z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i
Exemplo:
Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será:
z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i)
z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i
z1⋅z2=2+6i+5i+15i2
z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1)
z1⋅z2=2+6i+5i−15
z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i
z1⋅z2=−13+11i
Divisão de números complexos
Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z1=a+bi será z1=a−bi.
Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di
Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma:
z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di
z1z2=(a+bi)⋅(c−di)c2−(di)2
z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)ic2+d2=ac−bdc2+d2+ad+bcc2+d2i
Exemplo
Se z1=1+2i e z2=2+3i a divisão será:
z1z2=1+2i2+3i⋅2−3i2−3i
z1z2=(1+2i)⋅(2−3i)22−(3i)2
z1z2=8−i4+9=8−i13=813−113i
Argumento e módulo de um número complexo
Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo z=a+bi no Plano de Argand-Gauss:
O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por θ.
Argumento de Z
No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:
sen(θ)=b|z|
cos(θ)=a|z|
Sendo θ o argumento de Z.
Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar θ=arcsen(b|z|) ou θ=arcos(a|z|).
Módulo de Z
Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:
(|z|)2=a2+b2
Então:
|z|=√a2+b2
Forma trigonométrica de um número complexo
Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.
Considere o número complexo z=a+bi, em que z ≠ 0,
Como vimos anteriormente:
sen(θ)=b|z|⟹b=|z|⋅sen(θ)
cos(θ)=a|z|⟹a=|z|⋅cos(θ)
Substituindo os valores de a e b no complexo z=a+bi.
z=a+bi
z=|z|⋅cos(θ)+|z|⋅sen(θ)i
z=|z|⋅(cos(θ)+i⋅sen(θ))
Produto de números complexos na forma polar
Considere dois números complexos na forma polar:
z1=|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))
z2=|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))
O produto entre será:
z1⋅z2=[|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))]⋅[|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))]
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+cos(θ1)⋅i⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅i⋅sen(θ2)
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅cos(θ1)⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ0)⋅cos(θ2)+i2⋅sen(θ1)⋅sen(θ2)
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)−sen(θ1)⋅sen(θ2)+i(sen(θ1)⋅cos(θ2)+sen(θ2)⋅cos(θ1))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1+θ2)+i⋅sen(θ1+θ2))
Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.
Exemplo:
Se z1=2(cos(π/6)+i⋅sen(π/6)) e z2=3(cos(π/3)+i⋅sen(π/3)):
z1⋅z2=2⋅3(cos(π/6+π/3)+i⋅sen(π/6+π/3))
z1⋅z2=6(cos(π/2)+i⋅sen(π/2))
Potência de um número complexo
Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.
Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:
|z|⋅|z|⋅|z|⋅|z|⋅…⋅|z|=(|z|)n
e
θ+θ+θ+…+θ=n⋅θ
Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:
zn=(|z|)n⋅(cos(nθ)+i⋅sen(nθ))
Exemplo:
Calcular z3, sendo z=2(cos(π/4)+i⋅sen(π/4)).
Z3=23(cos(3⋅π/4)+i⋅sen(3⋅π/4))
z3=8(cos(3π/4)+i⋅sen(3π/4))
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIAEm matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é
f’=f ,{\displaystyle f'=f,\,}
onde f{\displaystyle f} é uma função desconhecida, e {\displaystyle f'}f’ a sua derivada.
DEFINIÇÃO
Seja y uma função de x e que
y’,y’’, ...,y(n)
denote as suas derivadas
dy/dx , d²y/dx², ... , dny/dxn
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve x, y, y’, y’’
A ordem de uma equação diferencial é a ordem {\displaystyle n}n da maior derivada na equação.
Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.
Quanto à linearidade de uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função
F(x, y’, y’’, ... ,y(n)) = 0, dizemos que a equação diferencial é linear se F for linear em y, y’(x), ... , y(n)(x).
Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.
Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma
F(x, y’, y’’, ... ,y(n)) = 0
é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma
F(x, y’, y’’, ... ,y(n-1)) =y(n), é designada equação diferencial explícita.
Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.
EXEMPLOS PRÁTICOS
Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.
Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.
Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.
Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).
Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:
Pelo cálculo da função {\displaystyle N(t)\!}N(t) nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.
Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial
A função procurada aqui é a função {\displaystyle x(t)\!}x(t), cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento.
Exercício utilizando conceitos de cálculo envolvendo números complexos
No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos.
Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta.
	A) 
	o conjugado de (1 + i) é (1-i)
	B) 
	|1 + i| = √2
	C) 
	(1 + i) é raiz da equação z² - 2z + 2 = 0
	D) 
	(1 + i) -1 - (2 - 2i)=2i
	E) 
	(1 + i) ² = 2i
Dado o número complexo A = 16 + 4i, qual o produto entre esse número e seu conjugado?
a) 256
b) 272
c) 300
d) 40
e) 20
RESPOSTA
AA’ = 162 + 42
AA’ = 256 + 16
AA’ = 272
Qual é o resultado do módulo do produto entre os complexos A = 12 + 13i e B = 15 – 10i?
a) 5√40
b) 5√30
c) 3√41
d) 4√41
e) 5√41
RESPOSTA
|4 + 3i||5 – 4i|
= √(42 + 32)·√(52 + 42)
= √(16 + 9)·√(25 + 16)
= √(25)·√(41)
= 5√41
Exercício envolvendo taxas de variação
Vamos através de uma demonstração provar que a taxa de variação da função f(x) = 2x + 3 é dada por 2.
f(x) = 2x + 3
f(x + h) = 2 * (x + h) + 3 → f(x + h) = 2x + 2h + 3 (h ≠ 0)
Dessa forma temos que:
f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – (2x + 3)
f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – 2x – 3
f(x + h) − f(x) = 2h
nas funções seguintes a taxa de variação é dada por:
f(x) = –5x + 10, taxa de variação a = –5
b) f(x) = 10x + 52, taxa de variação a = 10
c) f(x) = 0,2x + 0,03, taxa de variação a = 0,2
d) f(x) = –15x – 12, taxa de variação a = –15
A que taxa de variação cresce a área de um círculo em relação ao seu raio, quando o raio é igual a 2? Sabemos que a área de um círculo é função do seu raio através da fórmula A(r)= πr².
dA / dr= 2πr. = 4π
Logo 4π é o valor da taxa de crescimento da área em relação ao raio, quando este é igual a 2. Algumas vezes lidamos com a composição y= f(x) e x= g(t) em que se deseja calcular a taxa de variação y em relação a t, num instante t0, conhecendo a taxa de variação de x em relação a t, no mesmo instante t0.
POLINÔMIOS DE TAYLOR
Os polinômios são as funções fáceis de manipular, já que os seus valores podem ser obtidos através de simples adições e multiplicações. Parece natural, portanto, buscar aproximar funções mais complicadas por funções polinomiais.
O exemplo mais simples de aproximação de uma função por um polinômio ´e a aproximação linear que estudamos anteriormente. Assim como naquele caso, vamos considerar a reta tangente ao gráfico de f (x) no ponto x = p
L(x) = f (p) + f ′ (p)(x − p)
para aproximar o gráfico da função f (x) para x no ao redor de p. A ideia ´e aproximar o gráfico de f (x) ao redor de (p, f (p)) pelo gráfico de uma função linear L(x) que passe pelo mesmo ponto e tal que L ′ (p) = f ′ (p). Definimos o erro que se comete ao aproximar f (x) por L(x) por E(x) = f (x) − L(x). Observemos que, para x ≠ a, temos
E(x)/ x − p = f (x) − f (p)/ x − p − f ′ (p)
Daí, limx→p E(x) /x − p = 0, ou seja, quando x → p, o erro E(x) tende a zero mais rapidamente do que |x − p|.
Então definimos o polinômio de Taylor de ordem 1 de f (x) ao redor de p por
P1(x) = f (p) + f ′ (p)(x − p), e P1 ´e a função linear que melhor aproxima localmente f (x) ao redor de p.
EXEMPLO:
O polinômio de Taylor de grau 1 da função f (x) = (1 − x) −2 ao redor do ponto zero ´e P1(x) = 1 + 2x.
Suponhamos agora que a função f (x) seja duas vezes diferenciável e procuremos um polinômio P(x), de grau no máximo 2, tal que f (p) = P(p), f ′ (p) = P ′ (p) e f ′′(p) = P ′′(p). Devemos procurar P(x) na forma P(x) = c0 + c1(x − p) + c2(x − p) 2 com os coeficientes a serem determinados. Utilizando as condições acima, obtemos f (p) = P(p) =⇒ c0 = f (p), ◮ P ′ (x) = c1 + 2c2(x − p) =⇒ P ′ (p) = c1 = f ′ (p), ◮ P ′ (x) = 2c2 =⇒ P ′ (p) = 2c2 = f ′′(p) =⇒ c2 = f ′′(p)/ 2 .
Concluímos, portanto, que P(x) = f (p) + f ′ (p)(x − p) +f’’(p)/2 (x-p)² .Assim como anteriormente, definimos o erro que se comete ao aproximar f (x) por P(x) por E(x) = f (x) − P(x).
Observemos que, para x ≠ p 
E(x)/ (x − p) 2= f (x) − f (p) − f ′ (p)(x − p) − f ′′(p) 2 (x − p) ²/(x − p) ²
e, utilizando a regra de L’Hospital, obtemos
lim x→pE(x)/ E(x) (x − p) ²=1/ 2 lim x→p [f ′ (x) − f ′ (p)/ (x − p) -f ′′(p)]=0
Ou seja, quando x → p, o erro E(x) tende a zero mais rapidamente que (x − p) 2 .
Definimos o polinômio de Taylor de ordem 2 de f (x) ao redor de p por 
P2(x) = f (p) + f ′ (p)(x − p) + f ′ (p)/2 (x − p) ² e temos que P2 ´e o polinômio de grau 2 que melhor aproxima localmente f (x) ao redor de p.
EXEMPLO
Calcule o polinômio de taylor de grau 5 numa vizinhança de x = 0 das seguintes funções f(x) = 1 1 + x , f(x) = cos(x), f(x) = ln(1 + x), f(x) = e x 2 
p(x) = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − x 5 , b) p(x) = 1 – x²/ 2 + x4/ 24 , c) p(x) = x − x ²/ 2 + x³/ 3 – x4/ 4 + x5/ 5 d) p(x) = 1 + x² + x4/ 2
Encontre o polinômio de taylor de grau 5 da função f(x) = xe5
p(x) = x + x² + x³/ 2 + x4/ 6 + x5/ 24 .
SERIES DE FOURIER
Sériede Fourier é uma forma de série trigonométrica usada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos. Isto é, simplificando a visualização e manipulação de funções complexas.[3] Foi criada em 1807 por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).[3]
A forma geral da série é:
Onde os termos a0, an, bn são números que variam de acordo com a função que será representada. São as amplitudes de cada onda em série,[2] que são calculados com as seguintes formulas:
A Série de Fourier é importante na técnica de compactação digital, como por exemplo: para reproduzir músicas digitais por streaming, para ver imagens online de rápido carregamento, e no cancelamento de ruído nos fones de ouvido.
A série surgiu na tentativa de Fourier solucionar um problema físico, que gerou novas fronteiras na matemática. Durante o estudo da propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria se por ondas de calor, levando em consideração que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal. Assim Fourier demonstra através da transformada que qualquer função complexa, pode ser decomposta em uma combinação infinita de senoides , dividida como uma soma de senos e cossenos.
A ideia de decompor funções arbitrárias em termos de funções trigonométricas simples movimentou grandes nomes da matemática começando por volta de 1750 com L. Euler (1707-1783) e D. Bernoulli (1700-1782), seguindo com J. d'Alembert (1717-1783) e J. L. Lagrange (1736-1813). Mais tarde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) estudou sistematicamente tais séries infinitas, na tentativa de resolver a equação do calor. Em 1811, em sua Théorie mathématique de la chaleur (Teoria matemática de condução do calor), Fourier explicitou os coeficientes de tais séries (que ficaram conhecidos como coeficientes de Fourier, embora Euler já conhecesse o formato dos mesmos) e escreveu as séries de senos e cossenos de várias funções. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier, embora muito importantes a forma da série que recebeu o seu nome, são informais, em boa parte devido à falta de uma definição concisa de funções e integrais até o início do século XIX. P. G. Dirichlet (1805-1859) foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função poderia ser representada por uma série de Fourier (fato que Fourier acreditava), obtendo uma condição suficiente para a validade da representação a partir da série estudada. Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto x, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto. Nesse trabalho Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido. Aparentemente por influência de Dirichlet, G. B. Riemann (1826-1866) se interessou pelo estudo das séries trigonométricas, sendo levado a estudar a integral que leva hoje o seu nome e publicando em 1854 um trabalho intitulado "Sobre a representação de funções por meio de séries trigonométricas". Em 1876 du Bois-Reymond (1818-1896) construiu função cuja série de Fourier divergia em um dado ponto, e mais tarde ele mesmo construiu uma função cuja série divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram dados por L. Fejér (1880 -1959) em 1909. Vale citar também que em 1861 K. Weierstrass (1815-1897) deu o primeiro exemplo de função contínua sem derivada em ponto algum, sendo tal função definida por uma série trigonométrica que converge uniformemente (portanto uma série de Fourier). Não esqueçamos de citar G. Cantor (1845-1918), o qual teve grande influência pelo trabalho de Dirichlet e investigou o problema da unicidade da representação de funções por séries trigonométricas. Tais influências foram decisivas para a definição de números reais como sequência de números racionais e para a criação da Teoria dos Conjuntos, o que mostra o quão importante para o desenvolvimento da fundamentação teórica da matemática foi a teoria das séries de Fourier, podendo esta, então, ser considerada uma das teorias mais importantes da Análise. Embora o objetivo inicial de Joseph Fourier fosse resolver a equação do calor, depois que o método foi estudado e encontrado ele foi sendo usado para resolver muitos problemas matemáticos e físicos e, em especial, os que continham equações diferenciais. Esse estudo, conhecido hoje por Série de Fourier, tem aplicação direta nas áreas da engenharia elétrica, análise de vibrações, acústica, óptica, processamento de sinais, processamento de imagens, econometria. De encontro com esse aspecto está que, durante a elaboração da Série de Fourier, Joseph Fourier não estava focado em entender o calor enquanto entidade física (explicitando que não era o foco dele, mas que na pressão de dar uma explicação ele diria que a condução do calor se daria como radiação) mas para ele o importante era descrever matematicamente o comportamento do calor.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo. 2 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2001. Vol. 1
GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo B Pearson Makron books São Paulo. 1999
SITES DE PESQUISAS
https://www.infoescola.com/matematica
http://ecalculo.if.usp.br
http://www.calculo.sobralmatematica.org