RADICIAÇÃO_2011

Prévia do material em texto

1 
 
Prof. Marcus Vinicius 
 
Radiciação 
A radiciação é uma operação matemática oposta à potenciação (ou 
exponenciação). 
Para um número real a, a expressão nn ab ba = ⇔ = ( n > 0 ). 
A b chama-se a raiz , a n índice , a a radicando e a radical . 
 
PROPRIEDADES. 
 
P1. A raiz enésima do produto a.b é igual ao produto das raízes enésimas 
de a e b: 
 . .nn na b a b= 
Exemplo: Utilizando as propriedades de radicais temos: 
3 33) 8.1000 8. 1000 2.10 20a = = = e ) 3 . 3 3.3 9 3b = = = 
P2. O quociente de raízes de mesmo índice n é igual a raiz enésima do 
quociente dos radicando: 
 
n
n
n
a a
b b
= 
 
Exemplo: Utilizando as propriedades de radicais temos: 
 
4 4 2
)
9 39
a = =
 
3
33
3
16 16
) 8 2
22
b = = =
 
P3. A potência de grau m da raiz de índice n de a é igual a raíz de índice n de 
a elevado à potência m: 
 ( )m mnn a a= 
 
Exemplo: Utilizando as propriedades de radicais temos: 
( )3 32 82= = 
P4. A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn 
de a: 
 .m nm n a a= 
 
Exemplo: Utilizando as propriedades de radicais temos: 
3 .43 4 127 7 7= = 
2 
 
Prof. Marcus Vinicius 
 
 
As propriedades das potências com expoentes raciona is são 
as mesmas para os expoentes inteiros. 
 
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, 
temos que: 
) .
m p m p
n q n qa a a a
+= ) .( . )
m m m
n n nb a b a b= 
 )
m
m pn
n q
p
q
c a a
a
−= )
m
m
n
n
m
n
d
a a
b b
=
 
 
  
 
Simplificação de Radicais Através da Fatoração. 
Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através 
da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, 
decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois 
simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando. 
Vamos simplificar 2205 decompondo 2205 em fatores primos: 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2205 3 Logo 2205 3 . 5 . 7 , ent o :
735 3 . .
245 5 Como os expoentes dos fatores 3 e 7 s o divis veis pelo ndice 2,
49 7 vamos simplific los retirando os assim do radical :
7 7 . . . .
2205 3 5 7
2205 3 5 7 3 7
ã
ã í í
á
↓ =
↓ =
↓
↓ − −
↓ = =
1
5 521=
↓
 
Agora vamos analisar o número 3 729 
3 3
3 33 3
3
3 33 3
729 3
243 3 729 . ,
81 3 .
27 3 Como os expoentes dos fatores s o divis veis pelo ndice ,
9 3 vamos simplific los retirando os assim do radical :
3 3 . .
1
3 3
729 3 3
3 3
3 9729 3 3 3
Logo então
ã í í
á
↓
↓ =
↓ =
↓
↓ − −
↓ = = =
↓
 
 
 
3 
 
Prof. Marcus Vinicius 
 
Racionalização de denominadores 
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma 
fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um 
ou mais radicais em seu denominador. 
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos 
desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, 
de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. 
Considere a fração: 
5
3
 que seu denominador é um número irracional. 
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , 
obtendo uma fração equivalente: 
5. 35 5 3 5 3
.
33 3.3 3 9
3 = = =
 
Observe que a fração equivalente 
5 3
3
 possui um denominador racional. 
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores 
 
Principais casos de racionalização: 
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos: 
 
 
6. 26 6 2 6 2
. 3 2
22 2. 22 4
2 = = = = 
a é o fator racionalizante de a , pois, 
2
.a a a a= = 
 
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2 . Exemplos: 
a b+ é o fator racionalizante de a b− 
a b− é o fator racionalizante de a b+ 
a b+ é o fator racionalizante de a b− 
 
Potência com expoente racional 
Observe as seguintes igualdades: 
 
6
6 3 6
25 5 5 5ou= = 
 
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em 
um radical. 
1 2
252 5) 7 )7 4 4a b= = 
De modo geral, definimos: 
 
, , , 0, 0, 0
m
mn n com a e m n a n ma a= ∈ ∈ > > >ℝ ℕ 
 
4 
 
Prof. Marcus Vinicius 
 
EXERCÍCIOS 
1) Substitua a letra x pelo número racional que verifica cada uma das seguintes 
igualdades: 
) ² 100 ) ² 1 /16 ) ² 25
) ² 1,21 ) ³ 64 ) ² 36 / 49
a x b x c x
d x e x f x
= = =
= = =
 
2)Determine a raiz quadrada exata de cada um dos seguintes radicais: 
) 2304 ) 676 ) 1764 ) 484a b c d 
3) Usando as propriedades de radicais determine: 
 
) 12,25 ) 30,25 ) 1,69a b c 
 
4) Calcule o valor da expressão : 441 256 900+ − 
 
 
5) Qual é o valor da expressão 4 0,64 1,21 ?+ − 
 
)0,7 )1,7 )2,7 ) 2,1 ) 3,4a b c d e 
 
6) Efetue as multiplicações e divisões de radicais: 
 
3
3
16 36 98
) ) )
252 2
) 3 . 27 ) 2 . 8 ) 4,6
a b c
d e f
 
 
7) Transforme as potências abaixo em radicais: 
4 6 12
3 4 25) ) )) 5 3 812b c da − 
 
8)Efetue as radicais abaixo: 
33 43 34) 7 ) 2 ) 3 ) 10 ) 56a b c d e 
 
9) Racionalize ao denominadores: 
15 2 3 5 3 2
) ) ) ) )
3 2 2 5 7 6 6 5
a b c d e
+
+ + +
 
 
10) Calcule; 
 
33
83
.x x x x
x