Atividade 04 - 10 de 10

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29/03/2021 GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_TEST_PLAYER&COURSE_ID=_67… 1/7
Usuário JEFFERSON GOMES LIRA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-14901.01
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 29/03/21 21:43
Enviado 29/03/21 21:58
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 14 minutos
Resultados
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Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor  , um indutor   e uma
força eletromotriz   (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser
modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: 
 . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem,
considere um resistor de  , uma indutância de   e uma voltagem constante
de  . 
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
   
   
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO
linear de primeira ordem   é expresso por 
. Dada a EDO  , temos que   e,
portanto, o fator integrante é  .
Pergunta 2
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares
homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução   que
satisfaça às condições iniciais da forma   e  . Por meio
dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na
solução geral.
 
 Considere o seguinte PVI:  ,   e  . Analise as
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da resposta:
afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é  .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é  .
 
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
 É correto o que se afirma em:
 
   
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e
II, pois: 
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por  , cujas
raízes são   (duas raízes reais e distintas). 
 
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a
saber  , a solução geral é expressa por  . A partir
das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
 (i)   
 
(ii)   
 
Resolvendo o sistema, obtemos   e  . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 3
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Comentário
da resposta:
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza
podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de
valor inicial: 
 , 
onde   é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou
negativa. Considere a seguinte situação:
 
 Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimento dessa população.
 
 
   
   
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial  , onde   é a função quantidade de
bactérias que depende do tempo  . Além disso, temos os seguintes dados:
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para  temos  . Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde   e   são constantes e  . Como   temos
. Portanto, a função que
descreve o crescimento dessa população de bactérias é  .
Pergunta 4
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Comentário
da resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90
°C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo
levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
  
  
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do
bolo pode ser descrita pela equação diferencial   onde 
 e são fornecidas as seguintes informações:   e 
. Nosso problema consiste em determinar o tempo  , em
minutos, tal que . Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde  . Das condições
 e   vamos determinar as constantes   e  . De
 temos  . De  , temos  . Portanto, a
função temperatura do bolo é  . Vamos determinar
agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC. De  , temos
.
Pergunta 5
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma
 , onde   e   são funções contínuas em um dado intervalo. A
solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela
expressão  .
 
 Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência,
assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
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Comentário
da resposta:
 
 
I. A solução geral da equação   é  .
II. A solução geral da equação   é  .
 
III. A solução geral da equação   é  .
IV. A solução geral da equação   é  .
 
  
 É correto o que se afirma em:
   
   
I, II e IV, apenas.
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução
para uma equação diferencial linear, temos: 
Afirmativa I: correta. Temos que   e  , assim, 
 
. 
   
 Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por  , temos que   e
, assim,
. 
   
 Afirmativa IV: correta. Temos que   e  , assim,
, onde  .
Pergunta 6
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial
  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma
substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado.
Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: 
 , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é
uma função do tempo  . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial 
  reduzida em 0,043% após 15 anos. 
 
 Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
 I. O valor da constante de proporcionalidade é  .
 II. A função que representa o problema descrito é  .
 
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Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de  .
 
 É correto o que se afirma em:
 
   
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial
separável  , temos que as afirmativas I e II estão corretas, pois 
 
, onde  . 
 
Para  , concluímos que   e, para 
 concluímos  . Portanto, a função que representa o
problema descrito é  .
Pergunta 7
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Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O
método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas
característicasapresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais
escritas na forma   são ditas equações diferenciais
separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da
igualdade.
 
 Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise
as afirmativas a seguir: 
 
 I. A solução da equação   é  .
 II. A solução da equação   é   .
 
III. A solução da equação   é  .
 
IV. A solução da equação   é  .
 
 É correto o que se afirma em:
   
   
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o
método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
, onde
. 
 
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Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: 
. Integrando a equação:
, onde  .
Pergunta 8
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Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade
emequação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações
diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a
variável independente é   e a variável dependente é  , temos que: (i) A variável
dependente   e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem
grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente  .
 
 Considere a variável   uma função da variável  , isto é,  . Analise as
afirmativas a seguir.
 
 I. A equação diferencial   é linear.
 II. A equação diferencial   é linear.
 III. A equação diferencial   é linear.
 IV. A equação diferencial   é linear.
   
 Assinale a alternativa correta.
   
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de
linearidade de uma equação diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV
estão corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente   e todas
as suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da
variável independente  .
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante
de   um capacitor com capacitância de   e um resistor com uma
resistência de  . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  ,
onde   é a carga, medida em coulombs. 
 
 Dado que  , assinale a alternativa correta. 
   
   
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Segunda-feira, 29 de Março de 2021 21h58min58s BRT
 
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
A função corrente é expressa por  .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da
função carga, isto é,  . A EDO   é uma equação linear
de primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
. Dada a EDO
, temos que   e  . Portanto,
sua solução geral é
. Como  , segue que   e, assim, a função carga é expressa por
. Por fim, concluímos que a função corrente é
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico
simples , o qual pode ser descrito pela equação  , onde   é uma
função do tempo   que indica a posição da massa,   é a massa da mola e   é a
constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de
massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um
comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada
em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após   segundos? 
 
 Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:  ).
 
  
   
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes
condições:   (a mola no tempo   está esticada em 1,1 m sendo
seu comprimento natural de 0,75 m; portanto, está deformada em 0,35 m) e
 (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade
é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor
da constante elástica é:  . Tomando 
 e  na EDO  , obtemos a EDO  .
Resolvendo o PVI:  ,   e  , temos que a
solução geral da EDO é   e, portanto, a
solução do PVI é
1 em 1 pontos