Lista 3 - Subespaços

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO 
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho 
Álgebra Linear – Lista de exercícios 3 
Subespaços vetoriais 
 
 
 
1) Verifique se os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços. Em caso 
afirmativo, mostre que são. 
a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ℝ4 | 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 – 𝑡 = 0} 
b) 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ℝ4 | 2𝑥 + 𝑦 – 𝑡 = 0 𝑒 𝑧 = 0} 
c) 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ℝ4 | 𝑥 − 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 = 𝑡 + 1} 
d) 𝑄 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ℝ4 | 𝑥 = 𝑦𝑧 𝑒 𝑡 = −𝑧} 
 
2) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de 𝑀(2, 2). Em caso 
afirmativo exiba geradores 
a) 𝑉 = {(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 𝑒 𝑏 = 𝑐} 
b) 𝑈 = {(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 𝑒 𝑏 = 𝑐 + 1} 
c) 𝑊 = {(
𝑎 𝑏
𝑐 0
) : 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ 𝑒 𝑐 = −𝑎. 𝑏} . 
 
3) Considere os subconjuntos de 𝑃2 a seguir. Verifique se são subespaços. Em caso 
afirmativo, exiba geradores. 
a) 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 ∈ 𝑃2: 𝑏 = 2𝑎}. 
b) 𝑈 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 ∈ 𝑃2: 𝑏 = 2𝑐. 𝑎} 
 
4) Considere o subespaço de ℝ4 
 𝑆 = [(1, 1, −2, 4), (1, 1, −1, 2), (1, 4, −4, 8)] 
a) O vetor ( 
2
3
, 1, −1, 2) ∈ 𝑆? 
b) O vetor (0, 0, 1, 1) ∈ 𝑆? 
 
5) Seja 𝑊 o subespaço de 𝑀(2, 2) definido por: 
𝑊 = {(
2𝑎 𝑎 + 2𝑏
0 𝑎 − 𝑏
) : 𝑎, 𝑏 Є 𝑹} 
 
a) (
0 −2
0 1
) Є 𝑊 ? 
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Subespaços vetoriais 
 
 
 
b) (
0 2
3 1
) Є 𝑊 ? 
 
6) Seja 𝑊 o subespaço de 𝑀(3, 2) gerado por: 
 
(
0 0
1
0
1
0
) , (
0 1
0
1
−1
0
) 𝑒 (
0 1
0
0
0
0
) . O vetor (
0 2
3
5
−2
 0
) pertence a W? 
 
7) Considere o subespaço 𝑈 = [1 − 𝑡, 𝑡 ]. O polinômio 2 − 𝑡 𝜖 𝑈? Por quê? 
 
8) Considere o subespaço 𝑈 = [(
1 0
0 0
) , (
1 0
0 1
) ]. A matriz 𝐴 = (
1 −1
0 −1
) 𝜖 𝑈? Por quê? 
 
9) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 – 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles 
são LD. Se 𝑎𝑑 – 𝑏𝑐 ≠ 0, mostre que eles são LI. 
 
10) Mostre que {(
1 0
0 0
) , (
0 1
0 0
) , (
0 0
1 0
) , (
0 0
0 1
)} é base de 𝑀(2, 2). 
 
11) Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais, com as 
operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão. 
 
a) Matrizes diagonais 𝑛 𝑥 𝑛 
b) {(
𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑏
) : 𝑎, 𝑏 Є ℝ} 
c) 𝑉 = {(𝑎, 𝑎, … , 𝑎) Є ℝ𝒏: 𝑎 ∈ ℝ} 
d) {(1, 𝑎, 𝑏): 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} 
e) A reta {(𝑥, 𝑥 + 3): 𝑥 ∈ ℝ} 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
1) 
a) É Subespaço 
b) É Subespaço 
c) Não é Subespaço 
d) Não é Subespaço 
 
2) 
a) É subespaço. B= {(
1 0
0 0
) , (
0 1
1 0
) , (
0 0
0 1
) 
b) Não é subespaço. 
c) Não é subespaço. 
 
3) 
a) É subespaço. Os geradores são 1 + 2𝑥, 𝑥2. 
b) Não é subespaço. 
 
4) 
a) Pertence 
b) Não pertence 
 
5) 
a) Pertence 
b) Não pertence 
 
6) Pertence pois (
0 2
3
5
−2
 0
) = 3. (
0 0
1
0
1
0
) + 5. (
0 1
0
1
−1
0
) + (−3). (
0 1
0
0
0
0
) 
 
7) Sim. Pois 2 − 𝑡 = 2(1 − 𝑡) + 𝑡 
 
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8) Não. Pois 𝐴 não é combinação linear das matrizes que geram 𝑈. 
 
9) 
Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0 
𝑘1 ∗ (𝑎, 𝑏) + 𝑘2 ∗ (𝑐, 𝑑) = (0,0) 
(𝑘1 ∗ 𝑎, 𝑘1 ∗ 𝑏) + (𝑘2 ∗ 𝑐, 𝑘2 ∗ 𝑑) = (0,0) 
( 𝑘1 ∗ 𝑎 + 𝑘2 ∗ 𝑐 , 𝑘1 ∗ 𝑏 + 𝑘2 ∗ 𝑑) = (0,0) 
𝑘1 ∗ 𝑎 + 𝑘2 ∗ 𝑐 = 0 (∗ −𝑏) −> − 𝑘1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 − 𝑘2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 0 
𝑘1 ∗ 𝑏 + 𝑘2 ∗ 𝑑 = 0 (∗ 𝑎) −> 𝑘1 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑘2 ∗ 𝑑 ∗ 𝑎 = 0 
𝑘2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑑 − 𝑘2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 0 
𝑘2 ∗ ( 𝑎 ∗ 𝑑 − 𝑏 ∗ 𝑐 ) = 0 −> 𝑘2 ≠ 0 −> 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐿. 𝐷. 
𝑆𝑒 ( 𝑎 ∗ 𝑑 − 𝑏 ∗ 𝑐 ) ≠ 0 −> 𝑘2 = 0 −> 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐿. 𝐼. 
 
10) (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = 𝑎 (
1 0
0 0
) + 𝑏 (
0 1
0 0
) + 𝑐 (
0 0
1 0
) + 𝑑 (
0 0
0 1
) e os vetores são L.I. 
11) 
a) Sim. Dimensão 𝑛. 
b) Sim. {(
1 1
1 0
) , (
0 1
0 1
)}, dimensão 2. 
c) Sim. {(1, … , 1)}, dimensão 1. 
d) Não. 
e) Não.