Calculo I aula 4

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Cálculo I
Aula 4: Equações de retas tangente e normal, derivadas de
ordem superior e derivação implícita
Apresentação
Nessa aula vamos ver as equações de retas tangentes e normais a uma dada função com o auxílio da derivada, as
derivadas sucessivas e derivaremos funções implícitas.
Objetivos
Determinar as equações de retas tangentes e normais a uma dada função;
Determinar derivadas sucessivas;
Derivar funções implícitas.
Interpretação geométrica da
derivada
A derivada de uma função f em um ponto a nos fornece a
inclinação da reta tangente ao grá�co de f no ponto (a, f(a)).
Essa interpretação geométrica da derivada é muito
importante no que diz respeito à aproximação de funções,
que veremos nas próximas aulas.
 LEGENDA (Fonte: AUTOR / Shutterstock).
Coe�ciente angular da reta tangente a um grá�co em um ponto
 (Fonte: Shutterstock).
Queremos determinar a reta tangente ao grá�co de uma função f em p =(x , y ) com y = f(x )
Observe que a reta tangente é a linha reta que contem P e “melhor aproxima” o grá�co de f nas vizinhanças de P.
1 1 1 1
 Fonte: shutterstook Por Who is Danny.
Para determinarmos a equação da reta tangente necessitamos de um ponto e do coe�ciente angular da reta.
Observação: Equação da reta que passa por p = (x , y ) e tem coe�ciente angular m: (y -y ) = m(x –x )
Já temos o ponto P pertencente à reta, nos falta agora determinar o coe�ciente angular.
0 0 0 0
 Fonte: shutterstook Por Alexey Godzenko.
Consideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a f,
Q = (x + Δx, y + Δy) = (x + Δx, f(x + Δx))
O coe�ciente angular da reta secante PQ será
Fazemos então Q se aproximar de P cada vez mais.
1 1 1 1
=
∆y
∆x
( +∆x)−f( )x1 x1
∆x
 Fonte:
Note que se o ponto Q coincide com o ponto P, e. portanto, a reta secante tenderá a reta tangente. Em outras palavras, a reta
tangente é a posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P.
Coe�ciente angular da secante
Secante gira em torno de P
A inclinação da tangente será, portanto,
∆y = f ( + ∆x) − f ( )x1 x1
=
∆y
∆x
f( +∆x)−f( )x1 x1
∆x
       ∆ x → 0 ⇒ Q → P    
                    
‖
⇓‖
m = =  lim
∆x→0
∆y 
∆x
lim
∆x→0
f( +∆x)−f( )x1 x1
∆x
 Fonte: Por pfluegler-photo / Shutterstock
 Fonte: shutterstook Por ESB Professional.
 Reta tangente ao grá�co
Seja f função de�nida pelo menos em algum intervalo
contendo o número x e seja y = f(x ). Se o limite
existe, diremos que a linha reta no plano xy contendo o
ponto e tendo, coe�ciente angular m é a reta tangente ao
grá�co de f em (x y )
1 1 1
m = =  lim
∆x→0
∆y 
∆x
lim
∆x→0
f( +∆x)−f( )x1 x1
∆x
1 1
Agora que conhecemos o ponto pertencente à reta e o seu
coe�ciente angular, podemos determinar a equação da reta
tangente.
 Equação da reta tangente
Suponha f diferencial em x , f’(x ) coe�ciente angular da tangente ao grá�co f no ponto ou ainda (x , f(x ))
A equação da tangente na forma ponto-coe�ciente angular é y – y = f’(x )(x –x )
1 1 1 1
1 1 1
 Fonte: shutterstook Por Vitaly Sosnovskiy.
Equação da reta normal
A reta normal ao grá�co de f no ponto (x , y ) é de�nida
como sendo a linha reta através de (x , y ) que é
perperndicular à reta tangente em (x , y ).
Coe�ciente angular da reta normal: 
Equação da reta normal:
1 1
1 1
1 1
−1
f'( )x1
y − = (x − )y1
−1
f'( )x1
x1
 LEGENDA (Fonte: AUTOR / Shutterstock).
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Determinar a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) = x² no ponto P(2, 4).
Sabemos que a reta tangente ao grá�co de f(x) = x² no ponto P(2, 4). O que resta é determinar a inclinação desta reta.
Precisamos encontrar o coe�ciente angular da reta. Basta que encontremos a derivada no ponto P (2, 4).
f’(x) = 2x 
f’(2) = 4
Assim, o coe�ciente angular da reta tangente no ponto P (2, 4) é em m= 4.
A reta que passa por P (2, 4) e tem coe�ciente angular m = 4 é:
y – y0 = m(x -x ) 
y – 4 = 4(x -2) 
y = 4x -8 +4 
y = 4x -4
Exemplo 1 
0
Determine a equação da reta normal ao grá�co de f(x)=x² no ponto P(2, 4).
A reta normal ao grá�co é perpendicular à reta tangente. Assim, o produto dos coe�cientes angulares dessas duas retas
perpendiculares é -1.
mr . ms = -1 ou ainda, mr=-1/ms
Como o coe�ciente angular da reta tangente é 4, temos que o coe�ciente angular da reta normal será -1/4. A reta normal
também passará pelo ponto P(2, 4).
Exemplo 2 
y –     =  m(x –   )         y = + = 4y0 x0 x4
1
2
y –  4 =   −  1/4 (x –  2)            y = − +x
4
9
2
Derivadas de ordem superior
Se f for uma função diferenciável, então sua derivada f’ é também uma função, dessa forma, a
derivada f’ poderia ter sua própria derivada, que denotamos por (f’)’= f” . A esta nova função f”
chamamos de derivada segunda de f, uma vez que é a derivada da derivada. De modo
análogo de�ne-se as derivadas de ordens superiores a 2 de f.
Podemos pensar na ideia da segunda derivada como sendo um conceito associado ao
movimento de uma partícula P ao longo de uma reta orientada.
s=f(t)-> equação do movimento.
Sabemos que a taxa de variação do espaço em relação ao tempo é a velocidade, ou seja, a
derivada da equação de posição nos fornece a equação da velocidade da partícula:
Velocidade: v = 
A variação instantânea da velocidade em relação ao tempo nos fornece a aceleração da
partícula:
ESTÁ CORTADO NO SLIDE
ds
dt
Exemplo
Encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial.
f(x) = 10x – 2x + 5x³ - x² + 2x + 50 
f’(x) = 50x – 8x + 15x² - 2x + 2 
f’’(x) = 200x – 24x + 30x – 2 
f’’’(x) = 600x – 48x + 30 
f (x) = 1.800x – 48 
f (x) = 3.600x 
f (x) = 3.600 
f (x) = 0
5 4
4 3
3 2
3
iv 2
v
vi
vii
Fórmulas
Derivada primeira: 
Notações de Liebnitz: 
Segunda derivada: 
Notações de Liebnitz: 
N-ésima derivada: 
Notações de Liebnitz: 
y' = f' (x)
= f (x)
dy
dx
d
dx
(y')' = y'' = f'' (x)
= f (x)
yd2
dx2
d2
dx2
( )' = = (x)y(n−1) y(n) f (n)
= f (x)
ydn
dxn
dn
dxn
Diferenciação implícita
Funções Implícitas:
Considere y como uma função de x de�nida pela equação y = 2x³ + 7 x – 5
Dizemos que, nesse caso, Y é de�nida explicitamente em termos de x e escrevemos y = f (x) onde f (x) = 2x³ + 7 x – 5
 Fonte: Por Undrey / Shutterstock
Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é
uma função explícita de x, porque podemos isolar a variável dependente de
um lado e a expressão da função do outro.
No entanto, nem todas as funções estão de�nidas de forma explícita. Na
verdade, nem sempre isso é possível ou mesmo conveniente.
No exemplo: xy+3=3x-4y.
Note que y não está expresso em função de x. Neste
caso dizemos que y é de�nida implicitamente pela
equação.
Em alguns casos é possível expressar o valor de y de
forma explícita em função de x, e, a partir daí, podemos
diferenciá-la utilizando as regras de derivação já nossas
conhecidas.
Nem sempre é fácil resolver uma equação para y
explicitamente como uma função de x. Como então
derivar uma função que é difícil de ser explicitada?
Podemos usar o Método da Diferenciação Implícita.
Este método consiste em diferenciar ambos os lados
da equação em relação a x e então resolver a equação
resultante.
Processo para diferenciação implícita
Considere uma equação na qual y está de�nido de forma implicita. Podemos determinar por intermédio do seguinte
processo:
dy
dx
1
Diferenciamos ambos os membros da equação em relação a
x. Lembre-se de que y deve ser encarado como uma função de
x e, por isso, devemos usar a regra da cadeia quando for
necessário para diferenciar as expressões nas quais aparecem
y.
2
Obtemos então uma equação onde aparecem não somente x e
y, mas, também . Isolamos então a derivada .
dy
dx
dy
dx
Exemplo
Dado x + y = 36. Encontre 2 2
dy
dx
( + ) = (36)dy
dx
x2 y2 d
dx
( ) + ( ) = 0dy
dx
x2 d
dx
y2
2x + ( ) = 0d
dx
y2
2x + 2y = 0
dy
dx
2y = −2x
dy
dx
= −
dy
dx
2x
2y
= −
dy
dx
x
y
Atividade
Determine a derivada da função x + xy + y = 30, utilizando o processo de diferenciação implicita.dy
dx
2
Notas
Título modal 1
LoremIpsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente
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Referências
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar 8: limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: ATUAL, 1999.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978-1982. 2 v.
Próxima aula
Próxima aula
Na próxima aula aprenderemos alguns teoremas envolvendo derivadas que auxiliarão na análise e confecção de grá�cos.
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