11. Se considera el triángulo T de vértices (0, 0), (a, 0) y (0, b). Si R es el rectángulo de mayor área que se inscribe en T (en el sentido de...

A área do triângulo T pode ser calculada utilizando a fórmula da área de um triângulo, que é igual a base vezes altura dividido por 2. No caso do triângulo T, a base é igual a 'a' e a altura é igual a 'b'. Portanto, a área de T é igual a ab/2. Para encontrar o retângulo de maior área que se inscreve em T, podemos utilizar a equação da reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b), que é y = ba(a - x). O vértice do retângulo que está nessa reta pode ser representado como (x, y). A área correspondente a esse vértice é dada por A(x) = xy = ba(ax - x^2). Para encontrar o valor máximo dessa área, podemos derivar A(x) em relação a x e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. A derivada de A(x) é A'(x) = ba(a - 2x). Igualando a zero, temos a - 2x = 0, o que nos leva a x = a/2. Para verificar que esse valor de x corresponde ao máximo, podemos derivar A'(x) novamente em relação a x. A segunda derivada de A(x) é A''(x) = -2ba. Como A''(x) é negativa para qualquer valor de x, isso indica que o ponto x = a/2 é um máximo. Substituindo x = a/2 na equação de A(x), obtemos A(a/2) = ba(a^2/2 - a^2/4) = ba(a^2/4) = ab/4. Portanto, a área do retângulo R é igual a ab/4, que é a metade da área do triângulo T, como queríamos demonstrar.