16. (Mackenzie) Supondo ™=3, então os pontos (x,y) do plano tais que x£+y£-16´0, com x+yµ4, definem uma região de área: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Para resolver essa questão, podemos começar encontrando os pontos de interseção entre as duas circunferências. x² + y² - 16 = 0 (1) x + y = 4 (2) Podemos isolar uma das variáveis na equação (2) e substituir na equação (1): x = 4 - y (4 - y)² + y² - 16 = 0 y² - 8y + 8 = 0 y = 4 ± √8 Substituindo os valores de y na equação (2), encontramos os valores correspondentes de x: y = 4 + √8 --> x = -√8 y = 4 - √8 --> x = √8 Assim, temos dois pontos de interseção: (-√8, 4 + √8) e (√8, 4 - √8). Agora, podemos calcular a área da região delimitada pelas duas circunferências e a reta x + y = 4. Podemos dividir essa região em dois triângulos e um setor circular: A = 2 * (área do triângulo) + (área do setor circular) A área de cada triângulo é dada por: Atri = (base * altura) / 2 A base é a distância entre os pontos de interseção (√8 - (-√8) = 2√8) e a altura é a distância entre a reta x + y = 4 e o ponto mais baixo da circunferência x² + y² - 16 = 0 (que é (2, 2)): h = 4 - 2 = 2 Atri = (2√8 * 2) / 2 = 2√8 A área do setor circular é dada por: Asetor = (ângulo / 360°) * πr² O raio da circunferência é √16 = 4. O ângulo central correspondente ao setor circular é 90°, já que a reta x + y = 4 é perpendicular ao eixo x. Assim: Asetor = (90° / 360°) * π * 4² = π Portanto, a área total da região é: A = 2 * 2√8 + π = 4√2 + π Substituindo ™ por 3, temos: A = 4√2 + π ≈ 7,57 Assim, a alternativa correta é a letra E) 10.