4. DETERMINE O VALOR DE: ∫02X3+4X+3X2+4DX A) π8-12 B) 3π5+32 C) 3π8+12 D) π8+32

Para resolver a integral \(\int_0^2 (X^3 + 4X + 3X^2 + 4) \, dX\), vamos primeiro calcular a integral indefinida e, em seguida, avaliar os limites de 0 a 2. 1. Calcular a integral indefinida: \[ \int (X^3 + 4X + 3X^2 + 4) \, dX = \frac{X^4}{4} + 2X^2 + X^3 + 4X + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 2: \[ F(X) = \frac{X^4}{4} + 2X^2 + X^3 + 4X \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(0)\): - Para \(X = 2\): \[ F(2) = \frac{2^4}{4} + 2(2^2) + (2^3) + 4(2) = \frac{16}{4} + 2(4) + 8 + 8 = 4 + 8 + 8 + 8 = 28 \] - Para \(X = 0\): \[ F(0) = \frac{0^4}{4} + 2(0^2) + (0^3) + 4(0) = 0 \] 3. Calcular o valor da integral definida: \[ \int_0^2 (X^3 + 4X + 3X^2 + 4) \, dX = F(2) - F(0) = 28 - 0 = 28 \] Agora, precisamos verificar qual das alternativas corresponde a 28. Nenhuma das opções apresentadas parece corresponder diretamente a 28. Portanto, você precisa criar uma nova pergunta ou verificar se as opções estão corretas.