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Distância entre ponto e reta no R3 Rafael do Lago S. Costa dolago@discente.ufg.br Universidade Federal de Goiás - Geometria Analítica Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 1 / 13 Antes de tudo, vamos precisar da seguinte identidade: • ‖~u × ~v‖2 = (‖~u‖ · ‖~v‖)2 − (〈~u , ~v〉)2 Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 2 / 13 Vamos agora construir um paralelogramo de lados formados por dois vetores ~u e ~v : Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 3 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα ⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 sinα = h ‖~u‖ ⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A ‖~u‖ · ‖~v‖ cosα = 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ = ± √ 1− sin2α ⇒ 1− sin2α = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ 1− [ A ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 = [ 〈~u , ~v〉 ‖~u‖ · ‖~v‖ ]2 ⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ; Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí: A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo: A = ‖~u × ~v‖ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13 Fizemos isso porque agora, se tivermos um triângulo com dois lados formados por vetores ~u e ~v , sua área será A4 = 12‖~u × ~v‖. Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 5 / 13 Motivação Sejam o ponto P = (x0, y0, z0) e a reta r : X = (x1, y1, z1) + (a, b, c)t sobre um mesmo Espaço: Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 6 / 13 Motivação Sejam o ponto P = (x0, y0, z0) e a reta r : X = (x1, y1, z1) + (a, b, c)t sobre um mesmo Espaço: Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 6 / 13 Motivação Sejam o ponto P = (x0, y0, z0) e a reta r : X = (x1, y1, z1) + (a, b, c)t sobre um mesmo Espaço: Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 6 / 13 → Podemos formar um triângulo: A altura do triângulo será a distância entre P e r : Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 7 / 13 → Podemos formar um triângulo: A altura do triângulo será a distância entre P e r : Rafael do Lago (UFG)Distância entre ponto e reta no R3 7 / 13 → Podemos formar um triângulo: A altura do triângulo será a distância entre P e r : Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 7 / 13 A4 = 1 2 ∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r) A4 = 1 2 ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥ Igualando as expressões, temos que d(P, r) = ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥ Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo, temos que −→ QS = k −→ dr , onde −→ dr é um vetor diretor de r . Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13 A4 = 1 2 ∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r) A4 = 1 2 ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥ Igualando as expressões, temos que d(P, r) = ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥ Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo, temos que −→ QS = k −→ dr , onde −→ dr é um vetor diretor de r . Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13 A4 = 1 2 ∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r) A4 = 1 2 ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥ Igualando as expressões, temos que d(P, r) = ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥ Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo, temos que −→ QS = k −→ dr , onde −→ dr é um vetor diretor de r . Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13 A4 = 1 2 ∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r) A4 = 1 2 ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥ Igualando as expressões, temos que d(P, r) = ∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥ Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo, temos que −→ QS = k −→ dr , onde −→ dr é um vetor diretor de r . Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13 ⇒ d(P, r) = ∥∥∥−→QP × (k−→dr)∥∥∥∥∥∥k−→dr∥∥∥ = |k | ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ |k | ∥∥∥−→dr∥∥∥ = ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 9 / 13 ⇒ d(P, r) = ∥∥∥−→QP × (k−→dr)∥∥∥∥∥∥k−→dr∥∥∥ = |k | ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ |k | ∥∥∥−→dr∥∥∥ = ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 9 / 13 ⇒ d(P, r) = ∥∥∥−→QP × (k−→dr)∥∥∥∥∥∥k−→dr∥∥∥ = |k | ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ |k | ∥∥∥−→dr∥∥∥ = ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 9 / 13 Por fim, temos nossa expressão geral para a distância entre ponto e reta no espaço: d(P, r) = ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 10 / 13 Por fim, temos nossa expressão geral para a distância entre ponto e reta no espaço: d(P, r) = ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥ Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 10 / 13 Exercício. Calcule a distância entre o ponto P = (1, 3, 2) e a reta r . r : x = 1+ 3t y = −2+ t z = 5− t Como Q é um ponto qualquer da reta, vamos tomar Q = (1, −2, 5).Temos −→ dr = (3, 1, −1). Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 11 / 13 Exercício. Calcule a distância entre o ponto P = (1, 3, 2) e a reta r . r : x = 1+ 3t y = −2+ t z = 5− t Como Q é um ponto qualquer da reta, vamos tomar Q = (1, −2, 5). Temos −→ dr = (3, 1, −1). Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 11 / 13 Exercício. Calcule a distância entre o ponto P = (1, 3, 2) e a reta r . r : x = 1+ 3t y = −2+ t z = 5− t Como Q é um ponto qualquer da reta, vamos tomar Q = (1, −2, 5).Temos −→ dr = (3, 1, −1). Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 11 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15) ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15) ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15) ∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √ 4+ 81+ 225 = √ 310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √ 310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √ 9+ 1+ 1 = √ 11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √ 11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥= √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 −→ QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3) −→ QP × −→ dr = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 0 5 −3 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11 d(P, r) = √ 310√ 11 = √ 3410 11 u.c Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13 FIM! Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 13 / 13
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