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Distância entre ponto e reta no espaço

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Distância entre ponto e reta no R3 7 / 13
→ Podemos formar um triângulo:
A altura do triângulo será a distância entre P e r :
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 7 / 13

A4 =
1
2
∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r)
A4 =
1
2
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥
Igualando as expressões, temos que d(P, r) =
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥
Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo,
temos que
−→
QS = k
−→
dr , onde
−→
dr é um vetor diretor de r .
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13

A4 =
1
2
∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r)
A4 =
1
2
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥
Igualando as expressões, temos que d(P, r) =
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥
Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo,
temos que
−→
QS = k
−→
dr , onde
−→
dr é um vetor diretor de r .
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13

A4 =
1
2
∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r)
A4 =
1
2
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥
Igualando as expressões, temos que d(P, r) =
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥
Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo,
temos que
−→
QS = k
−→
dr , onde
−→
dr é um vetor diretor de r .
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13

A4 =
1
2
∥∥∥−→QS∥∥∥ · d(P, r)
A4 =
1
2
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥
Igualando as expressões, temos que d(P, r) =
∥∥∥−→QP ×−→QS∥∥∥∥∥∥−→QS∥∥∥
Mas Q e S são pontos distintos e arbitrários, pertencentes à reta r ; logo,
temos que
−→
QS = k
−→
dr , onde
−→
dr é um vetor diretor de r .
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 8 / 13
⇒ d(P, r) =
∥∥∥−→QP × (k−→dr)∥∥∥∥∥∥k−→dr∥∥∥
=
|k |
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥
|k |
∥∥∥−→dr∥∥∥ =
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 9 / 13
⇒ d(P, r) =
∥∥∥−→QP × (k−→dr)∥∥∥∥∥∥k−→dr∥∥∥ =
|k |
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥
|k |
∥∥∥−→dr∥∥∥
=
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 9 / 13
⇒ d(P, r) =
∥∥∥−→QP × (k−→dr)∥∥∥∥∥∥k−→dr∥∥∥ =
|k |
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥
|k |
∥∥∥−→dr∥∥∥ =
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 9 / 13
Por fim, temos nossa expressão geral para a distância entre ponto e reta
no espaço:
d(P, r) =
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 10 / 13
Por fim, temos nossa expressão geral para a distância entre ponto e reta
no espaço:
d(P, r) =
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥∥∥∥−→dr∥∥∥
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 10 / 13
Exercício. Calcule a distância entre o ponto P = (1, 3, 2) e a reta r .
r :

x = 1+ 3t
y = −2+ t
z = 5− t
Como Q é um ponto qualquer da reta, vamos tomar
Q = (1, −2, 5).Temos
−→
dr = (3, 1, −1).
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 11 / 13
Exercício. Calcule a distância entre o ponto P = (1, 3, 2) e a reta r .
r :

x = 1+ 3t
y = −2+ t
z = 5− t
Como Q é um ponto qualquer da reta, vamos tomar
Q = (1, −2, 5).
Temos
−→
dr = (3, 1, −1).
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 11 / 13
Exercício. Calcule a distância entre o ponto P = (1, 3, 2) e a reta r .
r :

x = 1+ 3t
y = −2+ t
z = 5− t
Como Q é um ponto qualquer da reta, vamos tomar
Q = (1, −2, 5).Temos
−→
dr = (3, 1, −1).
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 11 / 13
−→
QP = P − Q
= (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5)
= (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr
=
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣
= −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k
= (−2, −9, −15)
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)
∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥
=
√
4+ 81+ 225 =
√
310 ;
∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225
=
√
310 ;
∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ;
∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥
=
√
9+ 1+ 1 =
√
11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1
=
√
11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r) =
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥ = √9+ 1+ 1 = √11
d(P, r)
=
√
310√
11
=
√
3410
11
u.c
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 12 / 13
−→
QP = P − Q = (1, 3, 2)− (1, −2, 5) = (0, 5, −3)
−→
QP ×
−→
dr =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 5 −3
3 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2~i − 9~j − 15~k = (−2, −9, −15)∥∥∥−→QP ×−→dr∥∥∥ = √4+ 81+ 225 = √310 ; ∥∥∥−→dr∥∥∥

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