Exercício de Algebra Linear (39)

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a) 3�
b) � − �
c) {m + 15n |m, n ∈ �}
d) {−1, 0, 1}
Solução:
a) O subconjunto 3� ⊂ � é formado por todos os múltiplos de 3. É claro que ele
não é vazio porque, por exemplo, 3 ∈ 3�. Sejam x, y ∈ 3�. Então existem
m, n ∈ � tais que x = 3m e y = 3n. Daı́, x − y = 3m − 3n = 3(m − n) ∈ 3� e
x · y = (3m)(3n) = 9mn = 3(3mn) ∈ 3�. Logo, 3� é um subanel de �.
b) A = � − � é formado pelos números racionais que não são inteiros, ou seja,
formado pelas frações p/q ∈ � tais que p/q < �. Por exemplo, 3/2 ∈ A e
1/2 ∈ A, mas 3/2 − 1/2 = 1 < A. Logo, A não é fechado com relação à
subtração, de onde concluı́mos que A não é subanel de �.
c) Seja A = {m+ 15n |m, n ∈ �}. Escolhendo (aleatoriamente) m = n = 1 e, depois,
m = 0, n = 2 temos que x = 1 + 15 · 1 =
6
5 e y = 0 +
1
5 · 2 =
2
5 são dois elementos
de A. No entanto, x · y = 65 ·
2
5 =
12
25 . Se esse último elemento pertencesse a A,
existiriam m, n ∈ � tais que 1225 = m +
1
5n⇒ 12 = 25m + 5n o que é um absurdo
porque 12 não é múltiplo de 5 enquanto que 25m+5n = 5(5m+n) é múltiplo de
5. Concluı́mos dessa forma que 1225 < A e, consequentemente, A não é subanel
de �.
d) Se A = {−1, 0, 1}, escolhendo x = 1 e y = −1 temos que x − y = 2 < A. Logo, A
não é subanel de �.
A4) Seja A um anel. Mostre que:
a) Se (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 para quaisquer α, β ∈ A, então A é um anel
comutativo.
b) Dê exemplo de um anel A e elementos α, β ∈ A tais que (α+β)2 , α2+2αβ+β2.
Solução:
a) Usando a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição temos
que se α e β são dois elementos genéricos de um anel A, então (α + β)2 =
(α + β)(α + β) = α(α + β) + β(α + β) = α2 + αβ + βα + β2. Utilizamos
também a propriedade associativa da adição para poder retirarmos os parênteses
da expressão. Se no anel A é válido também que (α+β)2 = α2+2αβ+β2, então
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