1° LISTA DE EXERCÍCIOS MATRIZES(3)

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Faculdade Esta´cio do Recife
A´LGEBRA LINEAR
Prof. Se´rgio Barreto
L I S T A D E E X E R C I´ C I O S - M A T R I Z E S
1. Sabendo que x, y e z sa˜o nu´meros reais, determine-os para que as matrizesA =
 x+ y 0
z x− 2y

e B =
 13 0
1 4
 sejam iguais.
2. Considerando a igualdade das matrizes abaixo, calcule x, y e z. x− y x+ y + z
x+ y 4
 =
 1 9
7 4
 .
3. Escreva a matriz A:
(a) de ordem 2× 3, definida por aij = i · j;
(b) de ordem 3× 3, definida por aij =
 1, se i = j,0, se i 6= j. ;
(c) de ordem 3× 2, definida por aij = 2 · i− 3 · j;
(d) de ordem 3× 3, definida por aij =
 1, se i+ j = 4,0, se i+ j 6= 4. .
4. Se as matrizes A =
(
aij
)
e B =
(
bij
)
esta˜o definidas da seguinte forma aij =
 1, se i = j,0, se i 6= j.
e bij =
 1, se i+ j = 4,0, se i+ j 6= 4. , onde 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, enta˜o a matriz A+B e´:
5. Sejam A =
 1 −2 3
4 1 0
 e B =
 −1 2 0
1 −2 0
. Calcule 2A, 3B, 2A+ 3B e 2A− 3B.
1
6. Sejam A =
 2 1 0
1 2 1
, B =
 0 0 2
6 4 2
 e C =
 3 2 0
0 1 0
 matrizes deM2×3(R), calcular
a matriz 3 ·
(
A− 1
2
B
)
+ C.
7. Determinar a matriz X ∈ M2×3
(
R
)
tal que
1
2
· (X + A) = 3 · (X + (B − A))+ 2 · C, sendo
A, B e C as matrizes do exerc´ıcio anterior.
8. Dadas as matrizes A =

2 1
1 0
0 1
 e B =
 1 0 1
0 1 1
, determinar os produtos AB e BA.
9. Sobre as sentenc¸as:
I. O produto de matrizes A3×2 ·B2×1 e´ uma matriz 3× 1.
II. O produto de matrizes A5×4 ·B5×2 e´ uma matriz 4× 2.
III. O produto de matrizes A2×3 ·B3×2 e´ uma matriz quadrada 2× 2.
E´ verdade que:
(a) somente I e´ falsa.
(b) somente II e´ falsa.
(c) somente III e´ falsa.
(d) somente I e III sa˜o falsas.
(e) I, II e III sa˜o falsas.
10. Dada a matriz A =
 2 1
1 1
, determinar uma matriz X ∈M2(R) de maneira que A ·X = I2,
onde I2 =
 1 0
0 1
.
11. Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta com A se AX = XA. Determine
todas as matrizes que comutam com A =
 1 0
0 3
.
2
12. Ache todas as matrizes M =
 x y
z t
 que comutam com a matriz
1 1
0 1
 .
13. Sendo A =

1 0 0
0 2 0
0 0 4
 e B =

4 0 0
0 2 0
0 0 1
 do conjunto M3(R), determine as matrizes
X, Y ∈M3
(
R
)
de maneira que
 2X − Y = A+BX + Y = A−B .
14. Numa matriz quadrada de ordem n quantos elementos na˜o pertencem a` diagonal principal?
15. Numa matriz, chamam-se elementos internos aqueles que na˜o pertencem a` primeira ou a`
u´ltima linha ou coluna. Quantos elementos internos possui uma matriz A ∈M5×6
(
R
)
?
16. Seja a matriz A ∈ Mn
(
R
)
. Denomina-se trac¸o da matriz A a` soma dos elementos da
diagonal principal de A, ou seja, tr(A) = a11 + a22 + . . .+ ann =
n∑
i=1
aii.
(a) Considere a matriz A ∈Mn
(
R
)
cujo termo geral e´ aij = i · j. Determine tr(A).
(b) Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, mostre que tr(A+B) = tr(A)+ tr(B).
17. Sejam A,B ∈ Mn
(
R
)
, na˜o nulas, tais que AB = O (matriz nula), dizemos que A e B sa˜o
divisores de zero. Mostre que as matrizes A =

2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
 e B =

−1 3 5
1 −3 −5
−1 3 5

sa˜o divisores de zero.
18. Uma matriz quadrada A e´ sime´trica se A = At.
(a) Verifique se A =

1 5 9
5 3 8
9 8 7
 e´ sime´trica.
(b) Seja A ∈Mn
(
R
)
. Mostre que A · At e´ sime´trica.
(c) Se A,B ∈Mn
(
R
)
sa˜o sime´tricas, mostre que A+B tambe´m e´ sime´trica.
3
19. Uma matriz quadrada A e´ anti-sime´trica se A = −At.
(a) Verifique se A =

0 3 4
−3 0 −6
−4 6 0
 e´ anti-sime´trica.
(b) Se A,B ∈Mn
(
R
)
sa˜o anti-sime´tricas, mostre que A+B tambe´m e´ anti-sime´trica.
20. Uma matriz quadrada A e´ ortogonal se A× At = In.
(a) Mostre que A =
 Cosθ Senθ
−Senθ Cosθ
 e´ ortogonal, qualquer que seja o nu´mero real θ.
(b) Se A,B ∈Mn
(
R
)
sa˜o ortogonais, mostre que AB tambe´m e´ ortogonal.
21. Determine condic¸o˜es sobre as matrizes A,B ∈Mn
(
R
)
para que se tenha:
(a)
(
A+B
)2
= A2 + 2AB +B2
(b)
(
A+B
)(
A−B) = A2 −B2
4