Exercícios Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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Exercícios Aula 01
	1a Questão
	
	
	
	Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗.
		
	
	(-11, 154/3)
	
	(-9, 145/3)
	
	(-11, -145/3)
	 
	(-11, 145/3)
	
	(9, 145/3)
	
Explicação:
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5)
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3)
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55)
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3)
	
	Ref.: 201702906347
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais.
		
	 
	-13
	
	-26
	
	-30
	
	-15
	
	13
	
	Ref.: 201703244367
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : (AB) + 3(BC) - (AC) ?
		
	
	(14,7)
	
	(-14,8)
	
	(14,-8)
	 
	(14,8)
	
	(-14,-8)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores
	
	Ref.: 201703104594
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	 
	x=3
	
	x=2
	
	x=4
	
	x=1
	
	Nenhuma das anteriores
	
	Ref.: 201702885700
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado?
		
	
	Localização, Intensidade e Sentido
	
	Direção, Sentido e Ângulo
	
	Direção, Intensidade e Coordenada
	
	NRA
	 
	Direção, Intensidade e Sentido
	
	Ref.: 201703212115
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos
		
	
	1
	
	2
	
	0
	 
	3
	
	-1
	
	Ref.: 201702695690
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das diagonais desse quadrado, que terá área medindo:
		
	
	24 ua
	 
	16 ua
	 
	8 ua
	
	4 ua
	
	12 ua
	
	Ref.: 201703244360
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores :  (AB)+ (BC)?
		
	
	(1,0)
	
	(0,2)
	 
	(0,0)
	
	(2,0)
	
	(0,1)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	 1a Questão
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ?
		
	
	(0,1)
	
	(1,1)
	
	(2,2)
	
	(1,0)
	 
	(0,0)
	
	Ref.: 201703255438
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando.
		
	
	V,F,V,V.
	
	V,V,V,V.
	
	F,V,F,F.
	
	V,F,V,F.
	 
	V,V,F,F.
	
Explicação:
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais
	
	Ref.: 201703132708
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:
		
	
	a) Escalar
	
	c) Linear
	 
	d) Vetorial
	
	d) Aritmética
	
	b) Algébrica
	
	Ref.: 201703155492
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir:
		
	
	direção e sentido apenas.
	 
	direção, sentido e módulo.
	
	direção, intensidade e módulo.
	
	direção e módulo somente.
	
	apenas módulo.
	
	Ref.: 201703255794
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
		
	
	(126/3, 104/3)
	 
	(134/3, 119/3)
	
	(134/3, 96/3)
	
	(126/3, 96/3)
	
	(104/3, 119/3)
	
Explicação:
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3)
	
	Ref.: 201703068736
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são:
		
	 
	(3;2)
	
	(-3;-2)
	
	(-3;2)
	
	(-3;6)
	
	(3;6)
	
	Ref.: 201703130842
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa correta
		
	
	d) Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas.
	
	e) Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares.
	
	b) Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção.
	
	a) Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas.
	 
	c) As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido.
	
	Ref.: 201703244392
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 4(AB) +4(BC) - 2(AC) ?
		
	 
	(0,0)
	
	(0,1)
	
	(1,0)
	
	(0,2)
	
	(3,2)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
Exercícios Aula 02
	 1a Questão
	
	
	
	Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v:
		
	
	( -7, 6, 8)
	
	(-8, -25, -25)
	 
	(-8, 25, -25)
	
	( 4, 10, -4 )
	
	( 8, 25, 25)
	
Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25)
	
	Ref.: 201703243826
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o vetor A→B dado os pontos A(-1, -2, -3) e B(0, 1, 2)
		
	
	(1, 0, 5)
	
	(0, 1, 2)
	 
	(1, 3, 5)
	
	(-1, 0, 1)
	
	(1, 2, 0)
	
	Ref.: 201703287142
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2).
		
	
	53°
	
	35°
	
	60°
	
	47°
	 
	45°
	
Explicação:
Fazer a = u . v / (|u| . |v|)
	
	Ref.: 201703263766
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine o vetor X na igualdade 3X + 2 u = 1/2v + X, sendo daos u = ( 3,-1) e v = ( -2,4)
		
	 
	X = ( - 7/2 , 2)
	
	X = (-7 , 2)
	
	X = ( 2. -7/2)
	
	X = ( 3,-2)
	
	X = ( -2,-2)
	
Explicação:
Temos que: 3x+2u=v/2+x => 6x+4u=v+2x => 4x=-4u+v => 4x=(-12,4)+(-2,4) => 4x=(-14,8) => x=(-7/2,2)
	
	Ref.: 201703257086
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem em A e extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos vetores u e v resulta na terna:
		
	
	(D) (2, 3, 3)
	
	(B) (7, 15, 12)
	 
	(C) 0, 3, 3)
	
	(E) (0, 0, 0)
	
	(A) (0, - 3, - 3)
	
Explicação:
Tem-se u = AB = B - A = (1, 2, 3) v = BC = C - B = (- 1, 1, 0) Logo (1, 2, 3) + (- 1, 1, 0) = (0, 3, 3)
	
	Ref.: 201703255783
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,4), determine 2u ⃗-1/3 w⃗+3v ⃗.
		
	
	(2, -31/3)
	 
	(2, 23/3)
	
	(-2, -31/3)
	
	(2, 31/3)
	
	(-2, 31/3)
	
Explicação:
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) = ( 2 , 23/3)
	
	Ref.: 201702981280
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	(5, 30)
	
	(-5, 30)
	
	(5, -30)
	 
	(-5, -30)
	
	(0, 30)
	
	Ref.: 201703242833
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do Ponto C, interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VAB sejam tais que,  VAC =2/3.VAB .
		
	
	C = (10/3, 4/5)
	 
	C = (11/3, 7/3)
	
	C = (5/3, 2/5)
	
	C = (4, 10/3)
	
	C = (1/3, 2/3)
	 1a Questão
	
	
	
	Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem em A e extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos vetores u e v resulta na terna:
		
	 
	(C) 0, 3, 3)
	
	(D) (2, 3, 3)
	
	(A) (0, - 3, - 3)
	
	(B) (7, 15, 12)
	
	(E) (0, 0, 0)
	
Explicação:
Tem-se u = AB = B - A = (1, 2, 3) v = BC = C - B = (- 1, 1, 0) Logo (1, 2, 3) + (- 1, 1, 0) = (0, 3, 3)
	
	Ref.: 201703259609
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma região geométrica. Com base nos estudos de vetores podemos afirmar que o perímetro desta figura será aproximadamente:
		
	
	19,4
	
	20,8
	
	45
	
	16,4
	 
	22,4
	
Explicação: Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo AC + módulo BC
	
	Ref.: 201702981280
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	(0, 30)
	
	(5, -30)
	
	(5, 30)
	 
	(-5, -30)
	
	(-5, 30)
	
	Ref.: 201703255783
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,4), determine 2u ⃗-1/3 w ⃗+3v ⃗.
		
	
	(2, 31/3)
	 
	(2, 23/3)
	
	(-2, 31/3)
	
	(2, -31/3)
	
	(-2, -31/3)
	
Explicação:
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) = ( 2 , 23/3)
	
	Ref.: 201703278937
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes.
		
	
	(4 ,5) e (7, 9)
	
	(3 ,5) e (4, 6)
	 
	(2 ,5) e (4, 8)
	
	(4 ,3) e (7, 8)
	
	s.r
	
Explicação:
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3
P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5)
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8)
	
	Ref.: 201703257015
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale:
		
	
	(D) √7
	
	(A) 1
	 
	(B) 3
	
	(E) 2√5
	
	(C) 9
	
Explicação:
raiz((√8)² + (-1)²) = √9 = 3
	
	Ref.: 201703287109
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1), calcular o produto u.u.
		
	
	-14
	 
	14
	
	-13
	
	0
	
	15
	
Explicação: u.u = 3.(3) + 2.(2) + 1.(1) = 14
	
	Ref.: 201703287142
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2).
		
	
	35°
	 
	45°
	
	47°
	
	53°
	
	60°
	
Explicação:
Fazer a = u . v / (|u| . |v|)
Exercícios Aula 03
	1a Questão
	
	
	
	Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 2), logo os valores de a e b de modo que os vetores x e y sejam iguais é, respectivamente:
		
	 
	(A) - 7 e 0
	
	(E) 1 e 0
	
	(D) 1 e 10
	
	(B) 7 e 0
	
	(C) 7 e 7
	
Explicação: Tem-se que a + 3 = - 4, logo a = - 7 Tem-se que b + 5 = 5, logo b = 0
	
	Ref.: 201703250374
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determinar os valores de m e n para que os vetores →u=(m+1)→i + 2→j + →k e  →v=(4,2,2n-1) sejamiguais.
		
	
	m= 3 e n= -1
	
	m= 5 e n= -1
	
	m= 0 e n= 1
	 
	m= 3 e n= 1
	
	m= -5 e n= 1
	
Explicação:
u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2  e 1=2n-1 => n=1
	
	Ref.: 201703212095
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O ângulo entre os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,0) é igual a:
		
	
	60º
	
	30º
	
	15º
	 
	90º
	
	45º
	
	Ref.: 201703242846
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
		
	
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	 
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	Ref.: 201703247367
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	3/8
	
	5/8
	
	-5/8
	
	2/8
	 
	-3/2
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	Ref.: 201703247373
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u (1, 3, 2 ) e v ( 4, 2, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	12
	
	-13
	 
	-14
	
	14
	
	13
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	Ref.: 201703250371
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dada as seguintes afirmações:
Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
O módulo do vetor →u=(-3,0,-4) é igual a 5
As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →i, →j e →k, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
		
	
	IV e V estão corretas
	 
	I, IV e V estão corretas
	
	Apenas I está correta
	
	III e IV estão corretas
	
	I e III estão corretas
	
Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	Ref.: 201703061226
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v.
		
	
	(3, -3, 3)
	
	(3, 3, 3)
	
	(-1, 1, 1)
	 
	(1, 1, 1)
	
	(1, -1, 1)
	 1a Questão
	
	
	
	Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
		
	
	X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C)
	
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	 
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	Ref.: 201703212127
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	 
	x=4 e y=4
	
	x=4 e y=2
	
	x=4 e y=-4
	
	x=2 e y=2
	
	x=2 e y=4
	
	Ref.: 201703247373
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u (1, 3, 2 ) e v ( 4, 2, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	12
	
	-13
	
	13
	
	14
	 
	-14
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	Ref.: 201703092617
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x).
		
	
	x=2 e t=3
	
	x=4 e t=3
	
	Nenhuma das anteriores
	
	x=4 e t=6
	 
	x=2 e t=6
	
	Ref.: 201703061226
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determinaro vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v.
		
	
	(3, -3, 3)
	 
	(1, 1, 1)
	
	(1, -1, 1)
	
	(3, 3, 3)
	
	(-1, 1, 1)
	
	Ref.: 201703250371
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dada as seguintes afirmações:
Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
O módulo do vetor →u=(-3,0,-4) é igual a 5
As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →i, →j e →k, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
		
	
	IV e V estão corretas
	
	Apenas I está correta
	 
	I, IV e V estão corretas
	
	III e IV estão corretas
	
	I e III estão corretas
	
Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	Ref.: 201703090433
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10).
		
	
	x=2, y=1
	 
	x=5, y=7
	
	x=3, y=3
	
	x=1, y=2
	
	x=7, y=5
	
	Ref.: 201703247370
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-2
	 
	2
	
	4
	
	-3
	
	3
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
Exercícios Aula 04
	1a Questão
	
	
	
	Calcular a área do triângulo cujos os vértices são: A ( -2,3,1) , B( 1,2,3) e C ( 3,-1,2). considere a raiz quadrada de 3 igual a 1,7.
		
	
	9,95 u.a
	
	6,7 u.a
	
	3,5 u.a
	
	7,6 u.a
	 
	5.95 u.a
	
Explicação:
Calcular o módulo do produto vetorial entre AB e AC dividido por 2. Assim temos:
AB=B-A=(3,-1,2)
AC=C-A=(5,-4,1)
                 i      j      k
ABxAC =  3    -1     2   =  -i+10j-12k+5k+8i-3j = 7i+7j-7k = (7,7,-7.
                 5    -4     1
 
Então a área do tiângulo será dada por:  !ABxAC! / 2  =  !(7,7,-7)! / 2  =  V7² + 7² + (-7)²  /  2  = V49+49+49  /  2  = V147 /2 = V3. 7²  /  2  = 7 V3 /2  = 7 x 1,7 / 2 = 11,9 / 2  = 5,95 ua  (unidades de área)
	
	Ref.: 201703257932
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o ângulo formado pelos vetores u=(2, -1, 1) e v=(1, 1, 2)
		
	
	30º
	
	120º
	
	90º
	
	45º
	 
	60º
	
Explicação:
Temos que:
u.v=2-1+2=3
!u!=V6
!v!=V6
Daí: cos ¤ = 3 / V6.V6 = 3/6 = 1/2 => ¤ = 60°
	
	Ref.: 201702708034
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O volume do Paralelepípedo com um vértice na origem e arestas u= 2i + 2j + 5k,  v= 10i e w= 6i + 10j é:
		
	
	555
	
	575
	
	570
	 
	500
	
	550
	
	Ref.: 201703265173
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Certo sólido cujo o volume é 12 u.v. é determinado pelos vetores , e. Esses vetores foram colocados no plano R3 tendo como corrdenadas, respectivamente, =(a,-7,-1), =(-1,0,2) e = (0,-1,-1). Nessas condições, encontre um valor para a abscissa do vetor .
		
	
	10
	 
	3
	
	-10
	
	9
	
	-3
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto misto entre vetores.
	
	Ref.: 201703257769
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u =2i + j +ak , v =(a+2)i -5j +2k e w =2ai +8j +ak , determine o maior valor de a para que o vetor u + v seja ortogonal ao vetor w - u .
		
	
	5
	
	2
	
	4
	
	6
	 
	3
	
Explicação:
Fazer u + v = (a+4, -4, a+2); w - u = (2a-2, 7, 0), multiplicá-los e igualar o resultado a zero
	
	Ref.: 201703251802
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( -4, -x ) e v ( -2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	-5/3
	
	5/3
	 
	8/3
	
	-8/3
	
	3/5
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero.Assim:
u.v=0 => (-4,-x).(-2,3)=0 => 8-3x=0 => x=8/3
	
	Ref.: 201703253000
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A partir dos vetores, u = (5,-3) e v = (-3,-7), o resultado do produto escalar é:
		
	
	-6
	
	9
	 
	6
	
	36
	
	-36
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	Ref.: 201703251825
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= -4i -3j -2k e v= -i -2j-xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	4
	
	3
	
	-4
	 
	-5
	
	5
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero
	1a Questão
	
	
	
	Dado os vetores a (5,4,-3) e b (2,-2,3), calcule o produto escalar a.b
		
	 
	-7
	
	-5
	
	-12
	
	-9
	
	-15
	
Explicação:
a.b = 5.2 + 4.(-2) + (-3).3
	
	Ref.: 201703287107
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = 3i - 5j + 8k e v= 4i - 2j -k, calcular o produto escalar u.v.
		
	 
	14
	
	13
	
	18
	
	12
	
	22
	
Explicação: produto escalar u.v = 3.(4) - 5.(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14.
	
	Ref.: 201703257932
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o ângulo formado pelos vetores u=(2, -1, 1) e v=(1, 1, 2)
		
	 
	60º
	
	120º
	
	45º
	
	30º
	
	90º
	
Explicação:
Temos que:
u.v=2-1+2=3
!u!=V6
!v!=V6
Daí: cos ¤ = 3 / V6.V6 = 3/6 = 1/2 => ¤ = 60°
	
	Ref.: 201703253000
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A partir dos vetores, u = (5,-3) e v = (-3,-7), o resultado do produto escalar é:
		
	
	-6
	
	36
	 
	6
	
	-36
	
	9
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	Ref.: 201703251808
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 1, -2) e v ( 3, -x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
		
	
	2
	
	3/2
	 
	-3/2
	
	-4/3
	
	4/3
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Você deve ter u.v=0 => 3 +2x=0 => x=-3/2
	
	Ref.: 201703277924
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 2) e v=(1, x, 2) sejam ortogonais
		
	
	x=4
	
	x=2
	 
	x=-4
	
	x=-2
	
	x=0
	
Explicação:
Devemos ter: u.v=0 => x+4=0 => x=-4.
	
	Ref.: 201703257772
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Assinale qual alternativa apresenta um vetor ortogonal aos vetores u =(3,2,2) e v =(0,1,1).
		
	
	(3 , 3, -3)
	
	(4 , -1, 3)
	 
	(0 , 6, -6)
	
	(2 , 4, -1)
	
	(0 , 3, 3)
	
Explicação:
Calcular u x v (produto vetorial)
	
	Ref.: 201702971477
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes vetores:
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0)   com unidades dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 litros, qual é a capacidade do reservatório?
		
	
	50000 litros.
	 
	10000 litros.
	
	5000 litros.
	
	1000 litros.
	
	500 litros.
	
Explicação: Calcular o produto misto e depois o módulo do resultado do produto misto para encontra o volume.
Exercícios Aula 05
	1a Questão
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	
	X= 2+t y = 2 z = t
	
	X= -2+t y = 2 z = t
	 
	X= -2+t y = -2 z = t
	
	X= -2+t y = -2 z = -t
	
	X= 2+t y = -2 z = t
	
Explicação:
Os pontos são coeficiente de x é o vetor coeficiente de t.
Temos que:  (x,y,z) = (-2,-2,0) + t(1,0,1) 
Daí as equações paramétricas serão:  x=-2+t , y-2,  z=t 
	
	Ref.: 201703263105
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 )  que tem a direção do vetor (3,0, 0 )
		
	
	x= 1+3t y=2t z=-1
	 
	x= 1+3t y=2 z=-1
	
	x= 3t y=2 z=-1
	
	x= 1+3t y=2 z=t
	
	x= 1+3t y=2 z=1
	
Explicação:
Devemos ter:
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t 
                                             y=2
                                             z=-1
	
	Ref.: 201703286569
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação: 2x + 3y - 1 = 0, então o valor de k é:
		
	
	1
	
	0
	
	-2
	
	2
	 
	-1
	
Explicação:
Se o ponto P(2,k) pertence a reta 2x+3y-1=0 então devemos ter: 2.2+3,k-1=0 => 4+3k-1=0 => 3k=-3 => k=-1.
	
	Ref.: 201703270895
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de y e z do ponto P(4,x,y) pertencente a reta r: (x,y,z)=(2,3,1)+(-1,1,-2)t
		
	
	y=1; z=3
	
	y=4; z=1
	
	y=0; z=3
	 
	y=1; z=5
	
	y=1; z=-5
	
Explicação:
Temos que:
(x,y,z)=(2,3,1)+(-1,1,-2)t    =>   x=2-t => 4=2-t  => t=-2
                                                 y=3+t => y=3-2 => y=1
                                                 z=1-2t => z=1-2(-2) => z=5
	
	Ref.: 201703183939
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é:
		
	
	√18
	
	4
	 
	√19
	
	3
	
	5
	
Explicação:
 
√19
	
	Ref.: 201703285289
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	X= -2+t y = -t z = 1+t
	
	X= -2-t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = t z = -1+t
	 
	X= -2+t y = t z = 1+t
	
	X= 2+t y = t z = 1+t
	
Explicação:
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1)
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-2+t   ,   y=t    ,    z=1+t.
	
	Ref.: 201703285284
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	 
	X= -1+t y = -2 z = t
	
	X= -1+t y = -2 z = -t
	
	X= 1+t y = -2 z = t
	
	X= -1-t y = -2 z = t
	
	X= -1+t y = 2 z = t
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
                                                                    y=-2
                                                                    z=t
	
	Ref.: 201703263101
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do vetor (2,2, 2 )
		
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2+2t
	 
	x= 5+2t y=2+2t z=2t
	
	x= 5+2t y=2 z=2+2t
	
	x= 5 y=2+2t z=2+2t
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2
	
Explicação:
Temos :
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2)  => x=5+2t , y=2+2t e z=2t
	1a Questão
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
		
	
	x=4+t y=-2 z=2t
	
	x=4-t y=-2 z=t
	
	x=4+2t y=-2 z=t
	
	x=4+t y=-2t z=t
	 
	x=4+t y=-2 z=t
	
Explicação:
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, zb) terá as seguintes equações paramétricas:
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb
	
	Ref.: 201703183939
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é:
		
	
	4
	
	3
	 
	√19
	
	√18
	
	5
	
Explicação:
 
√19
	
	Ref.: 201703263111
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1, 2, 1)  que tem a direção do vetor (3, 0, 0)
 
		
	 
	x = 1+3t, y = 2, z = 1
	
	x = 1+3t, y = 2, z = 1+t
	
	x = 1+3t, y = 2+t, z=1
	
	x = 1+3t, y = 1, z = 1+t
	
	x = 1, y=2, z=1
	
Explicação:
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares.
	
	Ref.: 201703285289
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	X= -2-t y = t z = 1+t
	 
	X= -2+t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = t z = -1+t
	
	X= 2+t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = -t z = 1+t
	
Explicação:
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1)
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-2+t   ,   y=t    ,    z=1+t.
	
	Ref.: 201702741128
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que o módulo do vetor VAB mede 4 unidades de cumprimento, sendo A = (1, 2) e B = (-2, k). Nessas condições é correto afirmar que o valor de k é:
		
	
	-1 ou -2
	
	1 ou 3
	
	-2 ou 3
	 
	2
	
	0 ou 3
	
	Ref.: 201703270895
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de y e z do ponto P(4,x,y) pertencente a reta r: (x,y,z)=(2,3,1)+(-1,1,-2)t
		
	
	y=0; z=3
	
	y=1; z=3
	
	y=4; z=1
	
	y=1; z=-5
	 
	y=1; z=5
	
Explicação:
Temos que:
(x,y,z)=(2,3,1)+(-1,1,-2)t    =>   x=2-t => 4=2-t  => t=-2
                                                 y=3+t => y=3-2 => y=1
                                                 z=1-2t => z=1-2(-2) => z=5
	
	Ref.: 201703286569
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação: 2x + 3y - 1 = 0, então o valor de k é:
		
	
	0
	
	2
	
	-2
	
	1
	 
	-1
	
Explicação:
Se o ponto P(2,k) pertence a reta 2x+3y-1=0 então devemos ter: 2.2+3,k-1=0 => 4+3k-1=0 => 3k=-3 => k=-1.
	
	Ref.: 201703250553
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por:
		
	
	70x - 21y - 124 = 0
 
	
	-68x + 19y + 122 = 0
 
	 
	-69x + 20y + 123 = 0    
 
	
	-69x + 21y - 122 = 0
	
	-70x + 19y + 123 = 0
 
	
Explicação:
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida