50. (Ufrs) No sistema de coordenadas polares, considere os pontos O=(0,0), A=(1, 0), P=(›, š) e Q=(1/›, š), onde 0 < š < ™/2 e › > 0. Se a área do ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo, que é dada por: Área = (base x altura)/2 No triângulo OAP, a base é a distância entre os pontos O e P, que é ›, e a altura é a distância entre o ponto A e a reta OP. Podemos calcular a altura utilizando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: Altura = |(x1y2 - x2y1 - x1y3 + x3y1 + x2y3 - x3y2)/2| Substituindo os valores, temos: Altura = |(1 x š - › x 0 - 1 x 0 + 0 x › + › x 0 - 0 x š)/2| = |(1 - ›cos(š))/2| Portanto, a área do triângulo OAP é: Área(OAP) = (› x |1 - ›cos(š)|)/2 No triângulo OAQ, a base é a distância entre os pontos O e Q, que é 1/›, e a altura é a distância entre o ponto A e a reta OQ. Novamente, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: Altura = |(x1y2 - x2y1 - x1y3 + x3y1 + x2y3 - x3y2)/2| Substituindo os valores, temos: Altura = |(1 x š - 1/› x 0 - 1 x 0 + 0 x 1/› + 1/› x 0 - 0 x š)/2| = |(1 - cos(š)/›)/2| Portanto, a área do triângulo OAQ é: Área(OAQ) = (1/› x |1 - cos(š)/›|)/2 = (|1 - cos(š)|/2›) Sabemos que a área do triângulo OAP vale o dobro da área do triângulo OAQ, ou seja: Área(OAP) = 2 x Área(OAQ) Substituindo as fórmulas das áreas, temos: (› x |1 - ›cos(š)|)/2 = 2 x (|1 - cos(š)|/2›) Simplificando, temos: |1 - ›cos(š)| = 4|1 - cos(š)| Dividindo ambos os lados por |1 - cos(š)| e lembrando que 0 < š < ™/2, temos: |cosec(š) - ›| = 4 Como › > 0 e 0 < š < ™/2, temos que cosec(š) > 1, ou seja: cosec(š) - › = 4 ou cosec(š) - › = -4 Resolvendo para ›, temos: cosec(š) - 4 = › ou cosec(š) + 4 = › Como 0 < š < ™/2, temos que cosec(š) > 1, ou seja: cosec(š) + 4 = › Substituindo a fórmula de cosec(š), temos: (1/sen(š)) + 4 = › Substituindo a fórmula de sen(š), temos: (1/(›/2)) + 4 = › Simplificando, temos: 2/› + 4 = › Resolvendo para ›, temos: › = Ë2/2 Portanto, a alternativa correta é a letra b).