Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5. (a) (1.0 pt) Encontre uma base para o núcleo N (L).

Para encontrar uma base para o núcleo \( N(T) \) da transformação linear \( T(x) = Ax \), onde \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix} \), precisamos resolver a equação \( Ax = 0 \). 1. Escreva a equação \( Ax = 0 \): \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 2. Isso resulta no seguinte sistema de equações: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 = 0 \\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ -3x_2 + 5x_3 = 0 \end{cases} \] 3. Agora, vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, temos: \[ -3x_2 + 5x_3 = 0 \implies x_2 = \frac{5}{3}x_3 \] 4. Substituindo \( x_2 \) na primeira equação: \[ x_1 - \frac{5}{3}x_3 + 2x_3 = 0 \implies x_1 + \frac{1}{3}x_3 = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{3}x_3 \] 5. Agora, substituindo \( x_3 = t \) (onde \( t \) é um parâmetro livre), temos: \[ x_1 = -\frac{1}{3}t, \quad x_2 = \frac{5}{3}t, \quad x_3 = t \] 6. Portanto, a solução geral é: \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \] 7. Assim, uma base para o núcleo \( N(T) \) é: \[ \left\{ \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \] Portanto, a base do núcleo \( N(T) \) é formada pelo vetor \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \).