Para resolver essa questão, precisamos aplicar o operador linear \( L(x) = Ax \) repetidamente ao vetor \( x_0 = (3, -5, -9, 1)^\top \) e observar o comportamento da sequência \( x_1, x_2, x_3, \ldots \). Primeiro, vamos calcular \( x_1 = L(x_0) = A x_0 \): \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \] Calculando \( x_1 \): \[ x_1 = A \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ -9 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-5) + \frac{1}{2} \cdot (-9) + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-5) + 0 \cdot (-9) - \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 0 \cdot 3 + 0 \cdot (-5) + \frac{1}{2} \cdot (-9) + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 3 + 0 \cdot (-5) + 0 \cdot (-9) + \frac{1}{2} \cdot 1 \end{bmatrix} \] Calculando cada componente: 1. Primeira componente: \( 3 - \frac{9}{2} = 3 - 4.5 = -1.5 \) 2. Segunda componente: \( -5 - \frac{3}{2} = -5 - 1.5 = -6.5 \) 3. Terceira componente: \( -\frac{9}{2} = -4.5 \) 4. Quarta componente: \( \frac{1}{2} = 0.5 \) Portanto, temos: \[ x_1 = \begin{bmatrix} -1.5 \\ -6.5 \\ -4.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} \] Agora, repetimos o processo para encontrar \( x_2 = L(x_1) \) e assim por diante. Ao continuar esse processo, você notará que os valores das componentes começam a se estabilizar, convergindo para um vetor \( x^* \). Para determinar \( x^* \), você pode observar que, em geral, a aplicação repetida de um operador linear que tem um valor próprio dominante (ou seja, um valor próprio cujo módulo é maior que os outros) levará a uma convergência para um vetor próprio associado a esse valor próprio. Se você continuar a calcular \( x_2, x_3, \ldots \), você verá que a sequência converge para um vetor específico. Por fim, o vetor \( x^* \) pode ser encontrado como a solução do sistema \( Ax^* = x^* \), que é o ponto fixo do operador. Se precisar de mais detalhes sobre os cálculos ou a convergência, você pode perguntar!